文章编号：2009-0354 基于多点位移控制的推覆分析算法 黄羽立1，陆新征2，*叶列平2，施炜2 (1 Department of Civil and Environmental Engineering, University of California, Berkeley, CA 94720, US. 2清华大学土木工程系，清华大学结构工程与振动教育部重点实验室，北京，100084) 工程力学/Engineering Mechanics, 2011, 28(2): 18-23. 下载全文/Download PDF version 摘  要：本文提出了静力推覆分析的一种新的数值方法，通过引入位移刚性约束来保持恒定推覆侧力分布，实现基于位移控制的推覆分析。论文首先基于虚功原理对引入位移刚性约束实现保持恒定推覆侧力分布进行了论证，在理论上证明了该方法既适用于弹性结构，也适用于弹塑性结构。随后，以通用有限元程序MSC.MARC为例，介绍了如何实现基于多点位移控制的推覆分析。最后，通过算例对比，说明本文建议方法在计算结构复杂非线性特别是软化过程中的突出优势，即能够获取结构从弹性阶段到完全失去水平承载力的全过程，为全面认识结构的静力推覆性能，特别是为结构的倒塌分析，提供了有力工具。 关键词：静力推覆分析；多点位移约束；位移控制；虚功原理；倒塌分析 中图分类号：TU311.4        文献标识码：A A Pushover Analysis Algorithm Based on Multiple Point Constraints HUANG Yuli1, LU Xin-zheng2, YE Lie-ping2, SHI Wei2 (1 Department of Civil and Environmental Engineering, University of California, Berkeley, CA 94720, US. 2 Department of Civil Engineering, Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of China Education Ministry, Tsinghua University, Beijing, 100084) Abstract:  This paper proposes a new numerical method for pushover analysis. By using multiple point constraints, the lateral force distribution is maintained and displacement-controlled pushover analysis is achieved. The method is derived from the principle of virtual work and the rigidity of multiple point constraint. It is applicable to both elastic and inelastic structures. The proposed pushover analysis method can be implemented with user-defined subroutine interfaces of finite element software MSC.MARC. The outstanding performance of the method is then demonstrated using monotonic and cyclic pushover analysis of reinforced concrete structures. The evolution of deterioration from onset to eventual member and structural failure can be tracked, suggesting that the proposed method is a powerful tool offering complete pictures and considerable insight into pushover performance and collapse mechanism of structures. Keywords: pushover analysis, multiple point constraint, displacement control; principle of virtual work; collapse analysis
 1 概述 作为实现结构基于性能抗震设计和评估的重要工具，静力推覆分析（Pushover Analysis）[1]是一种计算比较简单而又能反映整体结构抗震性能和抗震能力的方法[2,3]。静力推覆分析以能够反映结构地震作用的侧力模式逐渐施加水平地震作用，获得整体结构的抗震能力，可以对结构中的关键单元或重要构件的变形作近似估计，并可发现一些不利于整体结构抗震的因素（如承载力或刚度突变等），找到结构可能的变形集中位置、构件塑性铰的发展次序，以及整体结构能否实现预期的破坏机制等。 为了得到整体结构的完整性能曲线，往往需要将结构推覆到下降段（软化段），而当前静力推覆分析遇到的最大的数值困难是：当结构进入软化阶段，需要等比例的降低荷载。如果下降段是整体结构的软化，例如结构的整体屈曲，采用弧长法（Arc-Length Method[4,5]）进行求解就能够快速有效的得到计算结果[6]。但如果下降段是由于结构的局部失效引起的，例如混凝土的开裂、压碎，或者钢筋拉断，那么平衡路径就可能会有“跳跃”或者“突变”，不再光滑连续变化。此时弧长法在求解上就会遇到很大困难。而与控制荷载相比，控制位移可以提高求解的稳定性[7]。但是在静力推覆分析中，由于结构中不同部位非线性程度的差异，使满足荷载比例关系所对应的多点位移并不能在分析前预先知道，所以不能简单的采用位移控制的方式进行加载。这给静力推覆方法在在结构强非线性阶段和结构倒塌问题中的研究带来了很多困难。针对该问题，本文采用了一种基于多点位移控制的推覆分析方法，该方法在原有结构模型中引入一个能够使荷载分布保持恒定比例关系的位移约束[8]，通过位移控制的方式进行恒定推覆侧力分布的推覆分析，从而大幅度提高了分析的数值稳定性。本文首先介绍多点位移控制推覆分析方法的理论，而后以通用有限元程序MSC.MARC为例，介绍该方法的具体实现，并通过典型算例的推覆分析结果，以及与弧长法分析结果的对比，说明本文提出的多点位移控制推覆分析方法的优势。
 2 分析理论 如果一个结构上一共有N个自由度需要施加比例为(p1:p2:…:pN)的荷载，则对该结构增加以下位移约束方程。通过约束这N个自由度位移，使对应的荷载(F1:F2:…:FN)满足比例关系(p1:p2:…:pN)[8]。        (1) 其中，pi是第i个自由度上施加荷载的比例系数；di是第i个自由度的位移；d0是新增约束方程引入自由度的位移，可以看作加载自由度位移的加权平均值，即由(1)式变换得，              (2) 上式中，各自由度的位移di对应的权重为该自由度的荷载比例系数pi。 现证明如下：对这N个自由度位移(d1:d2:…:dN)及新引入自由度位移d0分别引入虚位移ddi及dd0，则由虚功原理可以可得，         (3) 其中，Fi是约束施加在原有结构上的荷载，(−Fi)和F0分别是di和d0上约束所受的外力。因为约束是刚性的，所以(3)式右端内力所做的虚功为零。虚位移δdi和δd0应该满足约束方程(1)，因此有，       (4) 由(3)式和(4)式消去δd0可得：     (5) 注意到di是加载自由度位移，要使(5)式对任意大小的虚位移δdi恒成立，则δdi对应的系数必须全部为零，即：       (6) 如果Σpi ≠ 0，则可以进一步推出约束作用Fi的比例关系如下：     (7) 所以，如果位移约束方程式(1)成立，则荷载(F1:F2:…:FN)就始终满足(p1:p2:…:pN)的比例，也即保持恒定的荷载分布。 以上分析表明，只要在原有结构上增加位移约束方程(1)，就能保证推覆分析中保持恒定侧力分布。特别有用的是，d0自由度上不但能直接施加荷载，也能通过控制位移的方式进行加载，从而有效的提高了加载的灵活性和数值稳定性。以上分析理论的前提是虚功原理和刚性位移约束，这两个前提与原结构的特性无关，所以本方法对弹性和弹塑性结构均适用。（本文附录通过一简单线弹性算例和一弹塑性算例介绍了该方法的具体计算步骤，以便于读者理解。）
 3 在有限元程序中的实现 下面以通用有限元程序MSC.MARC为例介绍本文建议方法的具体实现，其他有限元程序可以根据方程(1)或(2)定义位移约束。MSC.MARC程序提供了一系列用户二次开发子程序功能，其中通过编写用户子程序UFORMS定义约束矩阵[S]，可以将某一节点（称为被约束节点）的任意一个自由度的位移，与其他若干个节点（称为约束节点）的任意位移建立线性组合关系，即[9]：              (8) 式中， ， ， 为被约束节点的第j个自由度的位移， 为第i个约束节点第j个自由度的位移，每个节点共有有M个自由度，约束矩阵[S]为节点位移之间的关系，共M行M×N列。如果每个节点只有一个自由度，则(1)或(2)式对应于以下[S]约束矩阵，   (9) 在UFORMS子程序中，只需给[S]矩阵中相应元素赋值为各个推覆分析加载节点的归一化荷载比例pi/(Σpi)，即可在MSC.MARC中实现(1)式的约束关系。有关UFORMS子程序的详细编写方法，参考文献[10]做了详细介绍。然后在计算分析中对被约束节点{uC}施加适当的位移荷载，就能实现基于位移控制的推覆分析，直至整体结构完全破坏，从而获得整体结构从开始加载到完全破坏的全过程，为研究整体结构在各个受力阶段的性能，特别是倒塌阶段的性能提供依据。

4 钢筋混凝土平面框架的推覆分析

1(a)为一按我国规范7度设防的63跨钢筋混凝土框架，横向柱距4m，纵向柱距6m，层高3.6m，场地类别为II类，设计地震分组为第二组，建筑类别为丙类。按照PKPMSATWE模块给出的结果和三级框架构造措施进行配筋，梁截面300mm×550mm，柱截面550mm×550mm，梁、柱的混凝土强度等级均为C30，梁、柱的纵向受力钢筋均为HRB335级，箍筋为HPB235级。楼面、屋面恒载均取为7kN/m2（含楼板自重），活载为2kN/m2。取中间一榀横向框架建模进行推覆分析，采用倒三角形荷载模式。分别利用MSC.MARC程序提供的弧长法和本文建议的多点位移控制法进行推覆计算，得到推覆曲线如图1(b)所示，可见采用本文建议方法的推覆计算，可以稳定的追踪结构的整个软化过程（误差限制为不平衡力<0.1%）。当结构推覆到图1(b)A点时，中柱混凝土开始压碎，结构侧向承载力急剧下降。此时弧长法已经不能收敛，计算中止。而此时结构的倒塌过程才刚刚开始，竖向倒塌模式不明显，故而难以基于弧长法结果来分析研究结构的倒塌机理。而本文建议的基于多点位移控制推覆分析方法，可以完整追踪结构的整个破坏过程，结构最终为中柱柱脚在水平推覆侧力和P-D效应下的压弯破坏，见图1(c)，此时对应于图1(b)推覆曲线上的B点，可见本文方法可以清晰反应结构的倒塌过程和机理。图2(d)给出了本文推覆分析得到的各层推覆力-顶点位移关系，可见它们严格符合预设的侧向荷载模式比例。

 (a) 推覆荷载比例 (a) distribution of lateral forces (b) 推覆结果 (b) results of pushover analysis (c) 最终倒塌模式 (变形放大5倍) (c) ultimate collapse mechanism (deformation magnified 5 diameters) (d) 各层推覆荷载 (d) shear force of each storey 图1 倒三角荷载单向推覆

 (a) 推覆荷载比例 (b) 推覆结果 图2 二阶模态荷载往复推覆

5 结论

[1]       Building Seismic Safety Council. NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings[R]. Washington DCFederal Emergency Management Agency1997.

Miao ZW, Ma QL, Ye LP, Lu XZ. Study on the accuracy and applicability of the pushover analysis[J]. Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting  200830(1)55-59.

Miao ZW, Ye LP, Lu XZ. Nonlinear static analysis for frame-shear-wall structures[J]. Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting200830(6)41-48.

[4]       Crisfield, M. A.. A Fast Incremental/Iteration Solution Procedure that Handles 'Snap-Through'[J]. Computers and Structures19811355–62.

[5]       Ramm, E.. Strategies for Tracing the Nonlinear Response near Limit Points. Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics[C], Edited by E. Wunderlich, E. Stein, and K. J. Bathe, Springer-Verlag, Berlin, 1981.

Jiang JJ, He FL, He YB, Lu XZ. Finite element method and application[M]. BeijingChinese Machine Press2006.

Jiang JJ, Lu XZ, Ye LP. Finite element analysis of concrete structures[M]. BeijingTsinghua University Press2005.

[8]       Huang Y.. Simulating the Inelastic Seismic Behavior of Steel Braced Frames Including the Effects of Low-Cycle Fatigue[D]. BerkeleyUniversity of California at Berkeley2009.

[9]       Marc Volume D: User Subroutines and Special Routines (Version 2005)[M]:2-45~2-49.

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Ye LP, Lu XZ, Ma QL, Wang XL, Miao ZW. Seismic nonlinear analytical models, methods and examples for concrete structures[J]. Engineering Mechanics200623(sup. II)131-140.

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[13]    Anil K. Chopra, Rakesh K. Goel. A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics200231561-582.

Ma QL, Ye LP, Lu XZ. Comparative evaluation of pushover analysis and modal pushover analysis with invariant spatial earthquake load[J]. Journal of South China University of Technology (Natural Science Edition)200836(11)121-128.

A1 线弹性结构

(A1)

(1)式类似，d0是由约束引入的附加位移。对位移约束引入虚位移，由虚功原理可得：

(A2)

(A3)

(A2)式和(A3)式消去d0可得：

(A4)

 F

A2 理想弹塑性弹簧模型力－位移关系

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A8)式中反力R1R2分别是位移d1d2的非线性函数。不妨用牛顿法迭代求解该非线性方程组

(A9)

(A10)

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