基岩地震谱与地震动位移输入的SSI计算模型改进   柳国环，*陆新征 （清华大学土木工程系，土木工程安全与耐久教育部重点试验室，北京，100084） 摘要：本文对基岩地震动输入的适用性和SSI计算模型的合理性进行了研究。首先，借鉴已有基岩地震谱表达式，采用数值方法修正高频段过滤函数，得到了适用于我国目标场地的基岩地震谱；然后，分析了当前位移输入的SSI计算模型实质，指出所存在的因单元尺寸划分逐步精细而导致的不收敛问题，推广无质量刚性元（Massless Rigid Element，MRE）法解决这一问题，并给出了MRE、结构系统和粘弹性人工边界三者间连接示意图；最后，基于上述工作和随机振动理论生成基岩地震动位移输入谱，对一算例进行了分析，结果表明了采用MRE法解决SSI计算模型的可行性。本文工作可为土-结构共同作用（Soil-Structure Interaction, SSI）相关问题的研究提供参考。 关键词：基岩地震动；无质量刚性元（MRE）法；土-结构相互作用(SSI) 岩石力学与工程学报/Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(5): 884-892. 下载全文/Download PDF version Spectra of Bedrock Earthquake Motion and Improvement of Bedrock  Displacement Input Calculation Model considering SSI Effect  Liu Guohuan, Lu Xinzheng (Department of Civil Engineering, Key Laboratory of Civil Engineering Safety and Durability of China Education Ministry, Tsinghua University, Beijing, 100084) Abstract: In this paper, the applicability of spectra of bedrock earthquake motion and rationality of calculation model considering soil-structure interaction (SSI) for structural seismic response analysis are studied. Firstly, in order to obtain the spectra of bedrock earthquake motion in China, not only the expressions of the current spectra of earthquake bedrock motion are compared and the preferred one is selected, but also the high-cut filter function is modified to fit the recorded earthquake motion of target fields in China. Then, the current SSI calculation model for structural seismic response analysis is expounded essentially and the unnegligible problem inherent in the model is pointed out. To solute the problem, the Massless Rigid Element (MRE) method proposed by the authors to solute the problem inherent in the earthquake ground displacement input model is extended and applied to solute the corresponding problem in the current bedrock displacement input model considering SSI effect. At last, based on the works above, the program for generating bed-rock displacement spectrum is coded and a soil-layers model is analyzed. The analysis results can further indicate that the MRE method is quite applicable to the calculation model considering SSI effect. The works of this paper belong to fundamental study and can provide necessary reference for the relevant study of SSI effect. Keywords: bedrock earthquake motion; Massless Rigid Element (MRE) method; soil-structure interaction (SSI)
 前言 地震作用下土-结构相互作用（Soil-Structure Interaction, SSI）问题的研究涉及到如下两方面内容：（1）基岩地震动输入；（2）结构地震响应的 SSI计算模型。前者的适用性与后者的合理性是保障分析结果可靠的必要条件。然而，我国目前的相关研究面临两个现实问题：（1）在我国，公开且有效的基岩地震动记录（包括震级、震源深度、震中距、基岩密度和波速等参数）相对甚少；（2）由于位移输入模型不仅适用于一致输入而且也适用于多点输入，不仅适用于线性分析而且也适用于非线性分析，但是基于地震动位移输入的SSI计算模型存在基底单元内力随着单元划分逐步划分精细而不收敛的问题。本文将围绕这两方面开展工作。 结构地震响应分析，包括频域分析和时域分析。文献[1]采用随机振动理论，频域内研究了沉埋隧道的可靠度问题（不通）。在基岩地震动输入下，考虑SSI的频域计算需要输入基岩地震动的傅立叶谱（下文简称：基岩地震谱）或相应的功率谱；时域计算需要基岩地震动，而基岩地震动可通过基岩地震谱生成。因此，得到适用于我国目标场地的基岩地震谱具有现实意义。基岩地震谱一般通过震源谱、衰减函数和高频滤波函数共同来描述。文献[2]考虑到美国强震记录相对丰富全面，对我国地震工程研究具有很强的借鉴意义，对比研究了Brune、Atkinson双拐点和Masuda震源谱的特点，结合三种典型震源谱的优缺点并通过改进和拟合，给出了具有广泛适用性的Masuda震源谱参数值a和b，使其既满足大、小震级要求，又同时符合震源谱曲线的中低频段“下沉”特点。文献[3]基于西澳地区的基岩地震动记录，结合Atkinson双拐点震源谱给出了适用于西澳地区的基岩地震谱。由此容易想到，尽管美国部分地区（例如：美国西部）的地质构造与我国相类似，但基于上述三种震源谱（Brune、Atkinson双拐点和Masuda震源谱）、衰减函数和高频段过滤函数得到的基岩地震谱与我国岩石场地的地震谱是否吻合？是否适用? 有必要作进一步研究。基于这一出发点，本文依据我国的具体基岩地震记录（仅限于震级、震源深度和震中距参数齐全，且水平和竖向基岩地震动有效合理的记录），在形式上借鉴并优选了基岩地震谱表达形式，在数值上调整了高频过滤函数，得到了可适用于我国目标场地的基岩地震谱，考察了其适用性，为考虑SSI作用的结构地震响应计算所需的基岩地震动输入提供参考。 在得到有效基岩地震动的前提下，求解地震响应SSI计算模型的合理性则直接关系到计算结果的可靠性。为此，本文论述了当前SSI计算模型，指出了所存在的问题，并说明该问题与地震地面运动输入下结构地震响应位移输入模型中问题的本质相同，进而采用作者提出的MRE法，以解决SSI计算模型中存在的这一问题。最后，针对某土层算例，采用MRE法进行基岩输入下的频域分析，说明MRE解决SSI计算的可行性。
 1.典型基岩地震谱及其表达 基岩加速度的功率谱可表示为：                                                           （1）         式中， 和 分别为地震动持时和频率； 为基岩地震动加速度的傅立叶谱，其表达式可写为[3,4]：                      （2）                               （3） 其中： 是常数； 、 和 分别表示震源谱、谱幅值衰减函数和高频过滤函数，此三参数描述了地震动强度与震源(Source)、传播途径(Path)和场地条件(Site)(简称SPS效应)间的关系； 是频率相关幅值变化函数，反映了地壳速度差异引起地表不同频率的幅值变化，这里取1[4,5]；Rp、F和V分别表示平均辐射系数、自由表面放大系数和地震能量水平分量系数，取值分别为0.55，2.0和0.71[3]； 和 分别为震源介质密度和传播波速； 表示震源距。 下面，依次分别对 、 和 加以简述。 1.1 震源谱 首先简述三种典型震源谱的表达形式。 （1）Brune(1970，1971)谱[6-7]      ,                            （4） 式中， 和 分别表示地震矩和拐点频率，分别可表达为                                                             （5）                              （6） 其中， 和 分别表示震级和应力降， 单位为bar（0.1MPa）。需要说明：式（5）中， 以 和 为单位时，对应的 取值分别为6.06和10.7[6-7]。 （2）Atkinson(1993) 双拐点谱[8-9]                        （7） 式中， 和 （ ）分别表示相对权重参数和拐点频率，与震级 关系可表示为：                                                                   （8）                              （9）                             （10） （3）Masuda（1982, 2001）谱[10]                                                              （11） 式中，参数 和 选取文献[1]给出的改进参数：                               （12）                                                                               （13） 1.2 谱幅值衰减函数 谱幅值衰减函数 描述地震动强度随震源 不同的衰减情况，与几何距离和频率有关，可表达如下[3,9]：                           （14） 式中， 为几何衰减因子； 为滞弹衰减因子。 考虑到美国西部地质构造与我国相似[1]，选取的 与 可分别表示如下： 几何衰减因子：                              （15） 滞弹衰减因子：                                                            （16） 式中， 表示地壳厚度，大陆地壳一般厚度为33-35km，最厚地区约为50-70 km。依据文献[11]，我国大陆地区地壳平均厚度（全国范围）为38.4km，最小厚度为28km； [1]。   1.3 高频段过滤函数 [3、8] 可以描述地震动高频成分的衰减，可表示为： ，                     （17） 1.4 地震动竖向分量与水平分量关系[3、8]                                                         （18） 式中， 和 分别表示地震动水平向和竖向的谱幅值。

2.已有基岩地震谱和我国实测基岩地震动比较

1 基岩场地的地震动相关参数

Tab.1 Parameters of bedrock ground motions

 编号 震中 台站 震级（M） 震源深度（d/km） 震中距（e/km） 震源距（R/m） 1 河北迁安 唐山水泥厂 5.7 14 64.0 65.51 2 甘肃嘉峪 甘肃肃南 5.0 20 112.8 114.56 3 新疆乌恰 新疆康苏 4.5 12 93.6 94.36 4 河北唐山 迁安滦河桥 4.0 10 14.0 17.20
 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图1  基岩地震动（迁安滦河桥）与基于三种典型震源谱的谱对比 Fig.1 Comparision of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with three classical spectra of bedrock earthquake motion
 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图2  基岩地震动（甘肃肃南）傅立叶谱与基于三种典型基岩谱对比 Fig.2 Comparision of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with three classical spectra of bedrock earthquake motion

3.高频段过滤函数的修正与检验

通过以上对比分析可知，尽管基于Atkinson震源谱得到的基岩地震谱的幅值相对更接近我国实测地震动傅立叶谱，但仍不能直接用来预测我国目标场地的基岩地震谱。基于上述对比结果并参考文献[3]，本节通过数学处理，通过幅值和自变量 平移对高频段过滤函数 进行调整，以得到可直接预测我国目标场地的基岩地震谱。

19）

20）

 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图3  基岩地震动（迁安滦河桥）与修正基岩谱模型对比 Fig.3 Comparison of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with the modified spectra of bedrock earthquake motion
 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图4  基岩地震动（甘肃肃南）与三种典型震源谱的谱模型对比 Fig.4 Comparison of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with the modified spectra of bedrock earthquake motion
 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图5  基岩地震动（新疆康苏）与三种典型震源谱的谱模型对比 Fig.5 Comparison of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with the modified spectra of bedrock earthquake motion
 (a) 水平向分量 (b) 竖直向分量 图6 基岩地震动（唐山水泥厂）与三种典型震源谱的谱模型对比 Fig.6 Comparison of Fourier spectrum of recorded bedrock earthquake motion with the modified spectra of bedrock earthquake motion

4.推广MRE法解决当前SSI计算模型中的问题

4.1 考虑SSI作用的位移输入计算模型本质分析

 图7土-结构系统示意图                                  Fig.7 Sketch of soil-structure system

-结构组成的结构体系在理论上属于无限域介质系统，但采用有限元等数值方法分析SSI问题时，现实可行的方法需要从无限域系统中取出有限域作为分析对象。有限域的-结构系统示意图如7所示。离散单元化的土-结构集中质量系统在地震作用下的运动方程可表达为：

（21）

22）

23）

24）

25）

26）

27）

28）

，则 这时将其代入式25可得到：

29）

30）

4.2 推广MRE法解决考虑SSI作用的位移输入计算模型存在的问题

结构地震响应分析结果的准确性直接依赖于计算模型的合理性。针对地震地面运动作用下结构地震响应的计算模型，文献[14-16]进行了详尽分析与论述：文献[14]首先回顾并详细论述了求解结构地震响应的一致加速度模型和位移输入模型的区别；文献[15]明确指出了位移输入模型中的不容忽视的因单元细分而导致不收敛的问题，并提出了附加无质量束缚元Applended Massless Constraint ElementAMCE法，通过算例给予了理论验证和物理解释。AMCE法尽管理论严格，但应用于实际大型工程则有一定困难；鉴于此，文献[16]基于AMCE又提出了直接便于实际工程应用的实用方法——无质量刚性元（Massless Rigid ElementMRE）法，该方法不仅可以直接通过有限元软件实现，还具有足够的计算精度。

 （a）当前SSI物理模型示意图 （b）文献[16]的粘弹性人工边界示意图 （c）MRE法建立的SSI物理模型示意图 （d）MRE与土-结构体系连接示意图 图8 土-结构系统物理模型及其边界设置示意图  Fig.8  Sketch of physical model of soil-structure system and boundary condition

5.基于MRE建立土层模型的频域分析

 图9 土层示意图   Fig.9 Sketch of soil layers 图10 基于MRE法建立土层示意图   Fig.10 Sketch of soil layers based on MRE method

表2 地基各土层厚度及其材料属性

Tab.2 The thickness and material attributes of each soil layer

 编号 名 称 土层厚度（m） 剪切模G（106Pa） 密度ρ(kg/m3） 波速(km/s） 泊松比 1 沙土 3 22 2000 200 0.4 2 软土 15 25 1800 250 3 粘土 6 28 2100 300 4 硬土 9 30 1700 800 5 岩石 — 20×103 2700 3900 0.3

11给出了基岩地震动加速度傅立叶谱、加速度功率谱和位移功率谱。MRE节点AB的位移谱对比如图12所示，两者基本重合，可看出MRE刚度足够，从而可说明输入到土层（包括粘弹性人工边界）的地震动不发生改变。地表位移谱与输入谱的比值如图13所示，由图可见地震动通过土层过滤后的幅值放大效应。

 (a) 加速度傅立叶谱 (b) 加速度功率谱 (c) 位移功率谱 图11 基岩地震动谱 Fig.11 Spectrum of bedrock earthquake motion
 图12 MRE的A节点与B节点功率谱对比 图13地表与基岩地震动位移谱的幅值比 Fig.12 PSD comparison between joints A and B of MRE Fig.13 Displacement amplitude Spectrum ratio of surface vs bedrock motion
 6.结语 地震作用下SSI问题的研究涉及到两个问题：基岩地震动输入和求解地震响应的SSI计算模型。本文围绕地震动输入的有效性与SSI计算模型的合理性进行了如下两项工作： （1）借鉴基岩地震谱表达式，修正高频段过滤函数，得到可用于我国目标场地的基岩地震谱； （2）论述当前SSI计算模型实质，明晰其与地震地面运动位移输入下模型本质的一致性，进而明确指出其存在的因单元尺寸加密而导致的不收敛问题，从而将作者提出的MRE方法推广以解决这一问题。 本文的工作可为土-结构共同作用相关问题研究提供参考。随着我国基岩地震动的公开、有效且参数齐全资料增多，可进一步完善本文提出的模型。
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