建筑结构倒塌分析的单自由度模型 [1]

施炜,陆新征,叶列平*,曲哲

(清华大学土木工程系,清华大学结构工程与振动教育部重点实验室,北京100084

工程力学/Engineering Mechanics, 2012, 29(10): 5-12.

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  要:本文建议了一种能够用于建筑结构倒塌分析的单自由度滞回模型。该模型能够模拟骨架线的强化和峰值点后的退化、滞回捏拢、往复荷载作用下的承载力和刚度退化以及P-D效应等。为验证所建议的单自由度滞回模型用于结构倒塌分析的有效性和合理性,以一8层钢筋混凝土框架结构为例,对原型结构和按照基本模态等效的单自由度模型分别进行了IDA倒塌易损性分析,结果表明两者的倒塌易损性曲线的吻合较好。

关键词:倒塌易损性分析;单自由度;滞回模型;承载力退化;P-D效应

中图分类号:TU375.4    文献标识码:A

Single-Degree-of-Freedom Hysteretic Model for Collapse Analysis of Building Structures

Shi Wei, Lu Xin-zheng, Ye Lie-ping, Qu Zhe

Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of China Education Ministry, Beijing 100084

Abstract: A simplified single-degree-of-freedom (SDOF) hysteretic model for collapse analysis of building structures is proposed in this work. The simplified hysteretic model is capable of simulating strength deterioration under monotonic loading, pinching, strength and stiffness deterioration under cyclic loading as well as P-D effect, so that it can be applied to collapse analysis. To validate the applicability and effectiveness of the proposed SDOF hysteretic model, an eight-storey RC frame structure is simplified as an equivalent SDOF system according to its fundamental mode of free vibration and IDA-based collapse fragility analysis is implemented to the prototype structure and simplified SDOF system, respectively. The results show that the collapse fragility curves of the prototype structure and simplified SDOF system agree quite well with each other.

Keywords: Collapse Fragility Analysis; Single-Degree-of-Freedom; Hysteretic Model; Strength Deterioration; P-D Effect

1          引言

在建筑结构抗震研究中,规则的单层或多层建筑结构可以简化成单自由度(Single Degree of Freedom, SDOF)体系。例如,第一代性能化抗震设计的主要分析手段——弹塑性静力分析将以基本模态控制的结构等效为SDOF体系预测结构的弹塑性地震响应[1] [2] 并确定结构的抗震需求。此外,简化的SDOF体系也可应用于建筑结构的倒塌分析。例如,Behrouz Shafei建立了基于IDA的倒塌易损性分析结果与结构能力曲线特征量的回归关系,提出了常规框架结构和框架剪力墙结构的抗倒塌能力简化评价方法[3] Luis Ibarra采用FOSM方法和蒙特卡洛方法模拟研究了SDOF体系抗地震倒塌能力的不确定性[4]

合理的恢复力模型是建立SDOF体系的关键。与传统结构抗震研究中的SDOF体系相比,以建筑结构倒塌分析为目标的SDOF体系的恢复力模型应能够模拟结构从弹性到弹塑性阶段、直至完全丧失承载能力而倒塌的全过程力学行为,除传统的弹塑性SDOF恢复力模型所需考虑的因素外,还应能模拟滞回捏拢、往复荷载下的承载力退化和刚度退化以及P-D效应等现象,以反映这些因素对结构抗倒塌能力的影响。本文根据建筑结构倒塌分析的需要,建议了可用于规则钢筋混凝土结构倒塌分析的SDOF体系恢复力模型;并通过一座8层钢筋混凝土框架结构及其相应的等效SDOF模型的IDA倒塌易损性分析[5] [6] ,验证了该SDOF体系恢复力模型用于结构倒塌分析的有效性和合理性。

图1 骨架线

图2 基本滞回规则

1 骨架线

Figure 1 Backbone Curve

2 基本滞回规则

Figure 2 Basic Hysteretic Rule

2          SDOF体系恢复力模型

2.1     骨架线

采用图1所示的三折线骨架线,由弹性段、强化段和软化段(模拟结构在单调加载下的承载力退化)构成。骨架曲线由5个参数控制:弹性刚度Ke、屈服强度Fy、强化段刚度系数as、名义延性系数m和软化段刚度系数ac。当地震水平力F超过屈服强度Fy或地震位移超过屈服位移Dy后进入强化段,强化段切线刚度Es=asKe;在位移Dc=mDy处达到峰值承载力Fc,然后进入软化段,软化段切线刚度Ec=-acKe

2.2     基本滞回规则

基本滞回规则与修正Clough模型的滞回规则[7] [8] [9] 类似,即历史最大位移指向型滞回模型。如图2所示,再加载路径指向加载方向的历史峰值位移点(6→7),若该方向未屈服则指向屈服点(3→4)。再加载过程中卸载时,再加载路径先指向卸载点,然后继续指向历史峰值位移点(15→16→17→18)。

2.3     滞回捏拢规则

滞回捏拢由再加载路径中的过渡点来反映,如图3所示,再加载路径先指向过渡点(510),然后指向历史峰值位移点[10] 。过渡点由kfkd两个参数控制,再加载路径的起始点与过渡点的延长线指向( ),其中 分别为该加载方向的历史最大位移及其在骨架线上对应的承载力,kf控制捏拢程度。过渡点的横坐标为 ,其中 为该方向的残余位移。如果再加载路径与横坐标的交点已经超过渡点,则再加载路径直接指向历史峰值位移点((5)→(6)→(7))。

图3 捏拢特性的模拟

3 捏拢特性的模拟

Figure 3 Simulation of Pinching Property

2.4     往复荷载下的承载力与刚度退化规则

采用文献[10] 的建议来模拟往复荷载作用下的承载力与刚度退化规则,退化速率由基于滞回耗能的退化指标b控制[11] 。该指标假定结构本身的滞回耗能能力是一定的,与荷载路径无关。对结构在往复荷载作用下的第i个循环,退化指标bi按下式计算[10]

 

(1a)

 

Et=gFyDy

(1b)

式中,Et=gFyDy表示结构自身的滞回耗能能力;g是控制结构退化程度的参数,g越小,结构因滞回耗能引起的退化越严重;c的取值范围为1.02.0[11] ,在等位移幅往复荷载作用下,c=1.0表示退化速率相对恒定,c=2.0表示初期荷载循环下退化速率较慢而后期荷载循环下退化速率逐渐增大;Ei表示结构在第i个循环下耗散的能量。

当结构屈服以后,可能出现四种退化现象[10] :(1)基本承载力退化(图4(a));(2)软化段承载力退化(图4(b));(3)卸载刚度退化(图4(c));(4)再加载刚度退化(图4(d))。四种退化现象既可独立存在,也可同时存在;每个类型的退化现象由各自的bigc控制退化程度和退化速率,下文用下标scua表示分别对应基本承载力退化、软化段承载力退化、卸载刚度退化和再加载刚度退化的控制参量。

1)基本承载力退化(图4(a)):指结构屈服后在往复荷载作用下屈服强度和强化段刚度的降低,当结构在某一方向卸载至0时,结构在另一方向的屈服强度 和强化段刚度 分别按式(2)和式(3)进行折减。

 

(2)

 

(3)

其中,bs,i表示结构往复荷载作用下第i个循环的对应基本承载力退化的退化指标,需要合适的gscs代入式(1)进行计算。

(a) 基本承载力退化

(b) 软化段承载力退化

(a)       基本承载力退化

(a)       Basic Strength Deterioration

(b)       软化段承载力退化

(b) Post-capping Strength Deterioration

(c) 卸载刚度退化

(d) 再加载刚度加速退化

(c)       卸载刚度退化

(c)       Unloading Stiffness Deterioration

(d)       再加载刚度加速退化

(d)       Accelerated reloading stiffness deterioration

4 退化特性的模拟

Figure 4 Simulation of Deterioration Property

2)软化段承载力退化(图4(b)):需要定义参考点FrefFref是软化段的延长线与纵坐标的交点。当结构在某一方向卸载至0时,该结构在另一方向软化段的参考点Fref按式(4)进行折减,而软化段的刚度保持不变。

 

(4)

其中,bc,i表示结构往复荷载作用下第i个循环的对应软化段承载力退化的退化指标,需要合适的gccc代入式(1)进行计算。

3)卸载刚度退化(图4(c)):由下式定义,

 

(5)

其中,与式(2)(4)类似,bu,i表示对应卸载刚度退化的退化指标,需要合适的gucu代入式(1)进行计算。

基本承载力退化与软化段承载力退化在两个加载方向互相独立,即每次结构在一个方向卸载至0时只有另一个方向需要更新;而卸载刚度在两个加载方向是同步退化的,即任一方向出现卸载时,两个方向的卸载刚度需要同步更新。因此,一般情况下如果卸载刚度退化与其他类型退化现象的退化程度相当的话,gu应该为gs或者gc的两倍[10]

4)再加载刚度退化(图4(d)):当结构在某一加载方向卸载至0时,另一方向再加载指向点由历史最大位移点改变为Dmax+DD,其中DD按照下式计算,

 

(6)

其中,ba,i表示对应再加载刚度退化的退化指标,需要合适的gaca代入式(1)进行计算。

2.5     P-D效应的模拟

图5 P-D效应的模拟

5 P-D效应的模拟

Figure 5 Simulation of P-D Effect

在重力荷载作用下,因结构侧移引起的二阶效应称为P-D效应。如图5所示SDOF体系,当结构质心偏移D时,其重力势能V

 

(7)

其中,W为单自由度体系承受的重力;h为质心相对于零势能参考平面的相对高度。如果结构在变形过程中原长为H的竖向杆件保持长度不变(忽略轴向变形),即满足 的约束,那么由于P-D效应引起的水平侧移方向的作用力通过重力势能V对侧移D的变分求得:

 

(8)

由式(7)(8)可知,P-D效应的本质是重力势能的释放[12] 。作用力F是在水平侧移方向与重力势能相对应的有势力,所以F-D是非线性弹性关系,其割线刚度为 ,在|D/H|<1/5的范围内 的相对误差不超过0.1%,因此一般情况下可将F-D视为线弹性关系。值得注意的是,这种简化仅适用于结构在变形过程中保持其原始构形,即满足 约束的情况下;如框架结构在强烈地震作用下框架柱发生严重的剪切变形或者混凝土大范围的压溃,那么对于混凝土柱而言 的约束不再满足,此时重力势能的释放将更为直接,对结构的破坏作用更为严重,不应采用上述假定

图6 P-D效应的模拟

6 P-D效应的模拟

Figure 6 Simulation of P-D Effect

本文假定F-D为线弹性关系,定义稳定系数q[12] [13] [14] 如下,

 

(9)

式中, P-D效应引起的F-D切线刚度KP-D的线性主部,Ke是结构不考虑P-D效应时的初始弹性刚度。稳定系数q 是无量纲参数,反映了P-D效应对结构静、动力响应的相对影响。考虑到P-D效应的弹性性质,本文SDOF体系的恢复力模型是包括捏拢和退化效应的滞回模型与考虑P-D效应的刚度为-qKe线弹性模型的并联体系(如图6所示)。

3          算例验证

3.1     结构设计

下面以一座8RC框架结构的倒塌分析为例,验证上述SDOF体系用于倒塌分析的适用性及准确性。该8RC框架结构位于VIII度设防第一组II类场地。结构纵向(X向)四跨,跨度均为7.5m;横向(Y向)三跨,边跨7.5m,中跨为内走廊,跨度为3.0m(图7)。与X向平行布置的梁记为GX,与Y向平行布置的梁记为GY。结构在1~4层和5~8层分别采用相同的梁、柱截面。图8给出了所有梁、柱构件截面的尺寸与配筋。不同构件在结构中的位置如表1所列。表1同时给出了结构各层的层高与重量等信息。所有柱均采用C45级混凝土,所有梁均采用C40级混凝土。梁、柱纵筋均为HRB400级。楼板厚度100mm,采用C40级混凝土,双向布置f10@200分布钢筋。

图7 八层RC框架结构的平面布置

7 八层RC框架结构的平面布置

Figure 7 Plane Layout of the 8-Storey RC Frame Structure

图8 梁、柱截面尺寸及配筋

8 梁、柱截面尺寸及配筋

Figure 8 Section Size and Reinforcement of the Structural Elements

框架结构楼层信息

Table 1 Storey Information of the Frame Structure

楼层

层高 (mm)

柱截面

纵梁截面

横梁截面

楼层重量 (kN)

1

4500

C-1a

GX-1

GY-1

3381

2

4000

C-1b

GX-1

GY-1

3349

3~4

3500

C-1b

GX-1

GY-1

3313

5~7

3500

C-2

GX-2

GY-2

3157

8

3500

C-2

GX-2

GY-2

2417

3.2     等效SDOF体系

采用基于通用有限元软件MSC.MARC开发的结构倒塌模拟分析程序TECSTsinghua Earthquake Collapse Simulation[15] [16] 对上述RC框架结构建模,混凝土梁的翼缘宽度参考我国混凝土规范建议,取为l0/3b+12t中的较小值[17] ,其中l0为梁跨,b为梁宽,t为楼板厚度;采用BN约束混凝土本构考虑箍筋对梁、柱截面核心区的加强错误!未找到引用源。

图9 弹塑性静力分析的侧力模式

9 弹塑性静力分析的侧力模式

Figure 9 Lateral Force Pattern Applied in the Nonlinear Static Analysis

对结构短轴方向(Y向)进行弹塑性静力单调推覆和往复推覆分析以确定其等效单自由度模型的骨架线和滞回曲线,短轴方向的基本周期T1=0.6873s。应用基于多点位移控制的推覆分析算法[19] ,以与一阶模态惯性力成比例的侧力模式(即与Mf1成比例,其中M为质量矩阵,f1为一阶模态)对该8RC框架结构Y向进行静力弹塑性分析(见图9),得到的能力曲线如图10所示,图10(a)Vb-Dr格式的能力曲线,通过式(10)、式(11)将其转化为Sa-Sd格式的能力曲线。

 

(10)

 

(11)

其中, 为对应一阶模态的等效模态质量; 为一阶模态的模态参与系数; 为一阶模态向量对应结构顶点的分量。

(a) 基底剪力—顶点位移

(b) 拟谱加速度—谱位移

(a) 基底剪力—顶点位移

(a) Base Shear vs Roof Displacement

(b) 拟谱加速度—谱位移

(b) Pseudo Spectral Acceleration vs Spectral Displacement

10 推覆曲线

Figure 10 Pushover Curve

10中的推覆曲线是应用结构倒塌模拟分析程序TECS[15] [16] ,对原型结构精细化建模和分析获得的。图10中有P-D效应的骨架曲线与无P-D效应的骨架曲线的差值如图11所示,可见在结构进入软化段之前,P-D效应可以通过并联的线性负刚度弹簧进行模拟。当结构进入软化段之后(如框架结构在强烈地震作用下框架柱发生严重的剪切变形或者混凝土大范围的压溃),重力势能将以更为直接地方式释放,此时P-D效应可通过简化SDOF恢复力模型中软化段的负刚度得以体现。

根据上述算例结构对应一阶周期的Sa-Sd曲线,应用本文建议的SDOF体系恢复力模型进行拟合,得到的SDOF体系滞回曲线与RC框架结构精细模型分析得到滞回曲线对比如图12所示,两者吻合度良好。

图11 P-D效应的验证

图12简化SDOF模型的恢复力

11 P-D效应的验证

Figure 11 Validation of P-D Effect

12简化SDOF模型的恢复力

Figure 12 Restoring Force of the Simplified SDOF System


3.3     倒塌易损性分析结果

对上述RC框架结构和简化的SDOF体系分别进行基于IDA的倒塌易损性分析[5] [6] 。采用FEMA695报告推荐的22条远场地震动记录以及常用的El-Centro波作为输入地震动[6] [21] ,以对应原型结构一阶周期的谱加速度Sa(T1)作为地震动强度指标对地震动进行归一化和调幅[22] 。以“结构丧失竖向承载力而不能维持保障人员安全的生存空间”和“结构完全丧失水平承载力”分别作为RC框架结构和简化SDOF体系的倒塌判据。倒塌易损性分析结果如图13所示,简化SDOF体系在各地震动强度下的倒塌率略高于原型结构,其倒塌易损性结果相比原型结构偏于保守,但仍在可接受的范围内。

图13 倒塌易损性曲线

13 倒塌易损性曲线

Figure 13 Collapse Fragility Curve

4          结论

本文根据建筑结构倒塌分析对恢复力模型的要求,建议了可应用于钢筋混凝土结构倒塌分析的SDOF模型。该模型能够模拟结构在单调荷载下的承载力退化、滞回捏拢、往复荷载作用下的承载力与刚度退化以及P-D效应等现象,满足结构倒塌分析的要求。以一座8RC框架结构为例,将原型结构按基本模态等效为单自由度体系,并分别对原型结构和相应的等效SDOF模型进行了基于IDA的倒塌易损性分析,结果表明,原型结构与等效SDOF模型的倒塌易损性分析结果吻合良好、且略偏于安全,验证了本文建议SDOF模型可应用于钢筋混凝土框架结构倒塌分析的适用性和准确性。基于该SDOF模型,可对影响结构倒塌的主要参数进行分析,为建立以倒塌率为目标的抗震设计方法提供依据。

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[1] 基金项目::国家自然科学基金优秀青年基金项目(51222804);国家自然科学基金项目(51178249);教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-10-0528)

作者简介:施  炜(1986-),男,上海人,博士生,从事混凝土结构抗震研究

陆新征(1978-),男,芜湖人,博士,副教授,从事数值模拟与防灾减灾研究

*叶列平(1960-),男,扬州人,博士,教授,博导,从事混凝土结构与结构抗震研究

  哲(1983-),男,陕西人,博士,从事工程结构抗震和FRP 加固混凝土结构的研究

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