FRP-混凝土界面行为研究/Studies on FRP-Concrete Interface

陆新征/Xin-zheng Lu

清华大学工学博士学位论文 / Tsinghua University Dissertation

2004

第二章 FRP-混凝土界面力学性能研究综述

2.1 引言

FRP-混凝土的界面粘结是保证两种材料共同工作的基础。试验表明,大量的FRP加固混凝土构件往往由于界面剥离而发生破坏 [8] ,因此正确的界面剥离强度模型和粘结-滑移模型,对建立FRP加固混凝土结构的设计计算理论至关重要。为此,各国学者都对该问题进行了大量的研究。

一般认为,在FRP加固混凝土结构中,FRP-混凝土界面的粘结应力主要为剪应力。例如,在受弯加固中,梁底部粘贴的FRP通过界面剪应力使FRP受拉,承担一部分截面弯矩,提高抗弯承载力;又如,在受剪加固中,梁侧面粘贴的FRP也是通过界面剪应力使FRP受拉来承担一部分剪力,并阻止斜裂缝的开展,提高构件的抗剪承载力。只有在少数情况下,FRP-混凝土界面之间的正应力才会有重要影响。例如,受弯加固时,在FRP端部由于FRP截断引起此处截面抗弯刚度突变,出现应力集中而导致剥离破坏的情况;又如,在斜裂缝两侧梁发生刚体错动,使梁底部的FRP-混凝土的界面产生正应力,从而会加剧FRP的剥离破坏。在实际工程应用中,由于可以通过布置FRP U型箍或机械锚固等方式来避免界面正应力的不利影响,因此FRP-混凝土界面力学性能的研究重点,主要集中在界面受剪性能以及由此导致的剥离破坏。

界面受剪性能一般可以用面内剪切试验加以研究。尽管不同的研究者采用的各种面内剪切试验方法 [23-33] 有所不同(见图2-1),但均可以统一到图2-2所示的基本力学模型 [34,35] FRP条带粘贴在一混凝土长方体试块表面,在FRP上施加一个拉力,拉力位于FRP平面内,将FRP从混凝土块体上拉下来。根据试验现象,FRP-混凝土界面的受剪剥离破坏主要有以下5种破坏形式 [36]

(1)    FRP内部分层剥离破坏;

(2)    FRP-胶层之间界面的剥离破坏;

(3)    胶层内部的剥离破坏;

(4)    胶层和混凝土之间的剥离破坏;

(5)    界面下混凝土开裂导致的剥离破坏。

双剪试验      单剪试验

(a) 双剪试验 [37]                (b) 单剪试验 [38]

2-1 不同面内剪切试验方法

在上述5种破坏形式中,对于目前最常使用的有机胶层而言,由于胶层和纤维之间可以很好浸润,胶层的抗拉强度又远高于混凝土,故前4种破坏形式在胶层施工可靠的情况下一般不会出现,也是FRP加固混凝土所不容许出现的破坏形式,否则将视为材料和施工质量不合格。因此“理想可靠”的界面剥离破坏是胶层下混凝土被扯下一层,如图2-2中虚线所示,在界面下混凝土中出现一条和界面平行的裂缝,从加载端向自由端发展,并最终将整个FRP连同界面下2~5mm厚度的混凝土一起剥离下来。如果混凝土试块宽度大于FRP片材宽度,则剥离下来的混凝土将略宽于FRP(2-22-3)

FRP-混凝土界面受力性能的一个重要特点是存在一个有效锚固长度Le的概念 [23,24,32,39] ,即:如果FRP的粘结长度L小于Le,则剥离承载力会随着粘结长度的增加而提高;如果FRP的粘结长度大于Le,则继续增加粘结长度将不能继续提高剥离承载力。另外,如果试验中在加载端预留的非锚固长度不足,则加载端附近角部的混凝土往往也会被拉下来一块 [37,40] (图2-2,图2-3)。

图2-2 面内剪切试验力学模型

2-2 面内剪切试验力学模型

  

(a) 双剪试验剥离破坏 [37]          (b) 单剪试验剥离破坏 [38]

2-3 剥离破坏试验照片

2.2 FRP-混凝土界面力学性能的试验研究

2.2.1 试验方案

做面内剪切试验时,应尽量使FRP与混凝土界面之间为纯剪力状态。根据现有各种面内剪切试验方案,本研究设计了一套试验卡具,如图2-4所示。本套卡具包含2个卡头,用来固定混凝土试块。每个卡头分为2个部分:卡头部分和施加荷载部分。卡头部分直接与混凝土试块接触,施加荷载部分加工为万向转铰,消除加载过程中偏心的影响,使试块两端FRP受力均匀。试验时,为防止混凝土局部受压破坏,在混凝土试块与卡具间垫入2mm厚,40mm宽的钢板。

2-4 面内剪切试验夹具

面内剪切试验试件尺寸如图2-5a所示,试件上半部分为非量测区,为防止其破坏,延长粘结长度的同时,外加50mm宽的FRP布缠绕粘贴。混凝土立方体强度为37.6MPa,通过变化FRP的宽度bf、粘结长度L、预留长度aFRP层数以及FRP类型等研究FRP布与混凝土之间的剥离性能。本试验共12个试块,FRP的力学性能如表2-1所示,各试块参数以及试验结果如表2-2所示。应变片分布方式为:从距离FRP加载端5mm开始,每隔10mm粘贴一个应变片,最后2个应变片间距离为15mm,见图2-5b

(a)

(b)

2-5 面内剪切试验试块及应变量测

2-1 FRP力学性能

GFRP厂家检测数据

GFRP实际测得数据

CFRP厂家检测数据

拉伸强度MPa

弹性模量GPa

拉伸强度MPa

弹性模量GPa

拉伸强度MPa

弹性模量GPa

2801.5

102.1

2777

97.0

3500

235

注:CFRP材性数据采用厂家提供数据,GFRP材性数据使用实际测得数据。

2-2试件参数及主要试验结果

编号

FRP参数

极限荷载

Pu/2

(kN)

类型

厚度(mm)

宽度

(mm)

粘结长度(mm)

弹性模量(GPa)

极限强度(MPa)

T-1

GFRP

0.169

50

130

 97

2777

 7.78

T-2

 9.19

T-3

75

10.11

T-4

13.95

T-5

50

100

 6.87

T-5a

 9.20

T-6

 70

 6.46

T-6a

 6.66

T-7

0.338

130

10.49

T-8

11.43

T-9

CFRP

0.111

235

3500

 7.97

T-10

 9.19

注: tfFRP厚度;EfFRP弹性模量;bfFRP宽度。

2.2.2 试验结果

试验得到的剥离破坏形式可以分为两大类:(1)剥离发生在粘结树脂层和(2)剥离发生在混凝土层。T-5aT-6a试块为数值层剥离破坏形式(图2-6a),其剥离下来的FRP表面平整,没有粘下混凝土(或者仅零星粘有几小片混凝土),出现这种剥离破坏的原因是粘结树脂的粘结作用不足。这种剥离破坏属于“不成功”剥离。其他试块为混凝土层剥离破坏,其剥离下来的FRP表面粘有2~5mm厚的混凝土,见(图2-6b),部分试块剥离下来的FRP将混凝土边缘拉下15mm×15mm的三角柱状混凝土(图2-6c),说明粘结情况良好,均属于“成功”剥离。

(a) T-5a树脂层破坏                     (b) T-1混凝土层破坏

(c) 混凝土层破坏,试块角部被拉坏

2-6 试验破坏形式

试验得到的典型试件FRP应变分布发展如图2-7所示,图中,s(mm)为加载端滑移量;P(kN)为荷载;Pu(kN)为剥离承载力。从图中可以看出,在加载早期,只有加载端附近FRP承受荷载,随着荷载的增大,参与受力的FRP长度增加。当参与受力的FRP长度达到有效锚固长度Le后,荷载不再增加,剥离从加载端向自由端发展。

 

(a) T-8                               (b) T-10

2-7 典型试件FRP应变发展

2.2.3 其他试验研究

各国学者对FRP-混凝土界面的受力性能进行了大量的试验研究。尽管各个研究者的试验方法各有不同,但各种试验方法之间结果的差别并不显著 [34,35] 。从现有文献中 [24,37,38,41-47] 共收集到254个面内剪切试验记录这些试验记录提供了FRP厚度 ,宽度 ,粘结长度 ,弹性模量 ,极限强度 ,以及混凝土立方体抗压强度 和宽度 等重要参数,现将它们列于附录A。另外,有些文献还提供了FRP的应变分布。

这些试件的4个主要影响参数的分布情况如图2-8所示,可见这些试件覆盖了一个较广的参数范围,基于这些试验结果可以对各种界面模型进行比较全面的评价。

混凝土立方体强度分布 FRP纤维轴向刚度分布

(a) 混凝土立方体强度分布            (b) FRP纤维轴向刚度分布

粘结长度分布 FRP-混凝土宽度比分布

(c) 粘结长度分布                 (d) FRP-混凝土宽度比分布

注: LeChen & Teng [36] 建议的有效锚固长度

2-8 试验数据的主要影响参数分布

2.3 FRP-混凝土界面数值模拟研究

除去试验方法外,数值分析,尤其是有限元分析,也是目前研究者对FRP-混凝土界面受力性能进行研究最常用的分析方法。早期的界面有限元分析研究多是基于线弹性分析,主要是希望了解FRP-混凝土界面的应力集中状况 [34,48] ,相关的研究在解决由界面应力集中引起的FRP受弯加固RC梁端部剥离问题中发挥了比较重要的作用 [48-53] 。但是,由于线弹性数值分析无法反映混凝土的非线性力学性能,因而无法模拟界面的剥离破坏过程,也就难以解释界面的剥离破坏机理。所以近年来对FRP-混凝土界面力学性能的研究转向非线性分析,这些分析可分为两类:

(1) 一类是FRP和混凝土单元之间引入专门的界面单元 [54-57] ,并预先设定合适的界面单元的粘结-滑移本构关系,通过界面单元的失效来模拟界面剥离破坏的过程。这种研究方法的好处是,只要界面单元粘结-滑移行为设置得合适,就可以很方便的模拟界面的剥离破坏,有限元分析的技术难度较小。但是,由于目前对FRP-混凝土界面粘结-滑移本构行为本身还没有很深入的认识,难以确认本构模型的合理性。因此,在设置界面单元粘结-滑移本构时往往有着很大的随意性,计算结果也因粘结-滑移关系不同而差异显著。另外,由于剥离破坏被假设在界面单元内,因而也就无法从实质上研究界面剥离破坏的机理。

(2) 另一类研究方法是将FRP和混凝土单元通过共用节点直接联系在一起 [57-60] ,并选取适当的混凝土本构模型,用界面下混凝土单元的断裂破坏来模拟FRP-混凝土界面的剥离过程。由前述试验研究可知,对于“理想可靠”的粘结,剥离破坏均应发生在FRP下的混凝土层中,因此这种将界面剥离问题和混凝土本构关系联系在一起的分析方法,理论上说,对深入研究界面剥离破坏机理及其相应的影响参数更为合理,并可通过数值分析直接获得界面粘结性能本构模型。可是,这种方法虽然概念上非常简单,理论上也合理,但由于混凝土非线性分析的复杂性,尤其是剥离破坏仅发生的2~5mm厚的混凝土层中,因而在具体实现中还很多困难,本文将在后续章节中详细介绍。

2.4 FRP-混凝土界面的剥离承载力

2.4.1影响参数

根据试验研究,以及本文后面的数值模拟和理论分析,影响界面粘结性能和剥离承载力的主要影响参数有以下6个:

(1) 混凝土强度

由于剥离破坏发生在界面以下的混凝土中,因而混凝土强度对界面粘结性能和剥离承载力影响显著。很多研究者都指出界面破坏能主要与混凝土强度有关 [9,45,61,62]

(2) 粘结长度

FRP片材粘贴长度是影响极限剥离承载力的重要因素。如前所述,在粘结长度小于有效锚固长度Le时,剥离承载力随粘结长度增加而提高。

(3) FRP片材刚度

试验研究表明,FRP片材的刚度越大,可以使界面粘结应力更加均匀,增大有效锚固长度Le,并可减弱加载端附近粘结应力集中。

(4) 宽度比

如图2-22-3所示,很多试验观测发现剥离下来的混凝土比FRP片材要宽一些,因此参与界面受剪的混凝土宽度要大于FRP片材的宽度,且剥离承载力随宽度比bc/bfbc为混凝土块体宽度,bfFRP片材宽度,见图2-2)的增加而有所提高,但不会随宽度比bc/bf的增加而无限提高,存在一个宽度影响的上限。

(5) 胶层

在面内剪切试验中,拉力直接作用在FRP片材上,所以FRP和混凝土之间的胶层接近于纯剪应力状态(2-2)。由于普通有机胶层的抗拉强度远高于混凝土的抗拉强度,所以普通胶层对界面粘结性能的影响很小。虽然有研究表明 [61] ,非常软的胶层(剪切刚度是普通胶层的1/20~1/5)可以提高界面的剥离承载力,但是这方面的试验研究还很少,本文暂不讨论。

(6) 位置以及端部约束

如图2-22-3所示,如果加载端的非粘结段长度不足,则剥离破坏时角部的混凝土块体将被拉下来。理论分析表明[65],在角部区域的粘结强度比其他部位的要小。不过,在面内剪切试验中,当粘结长度超过一定值后,角部局部的粘结-滑移行为不会对最终剥离承载力产生较大影响。

2.4.2 界面剥离承载力模型

由面内剪切试验比较容易获得剥离承载力,因此自1996年来,国内外基于粘贴FRP片材或钢板的面内剪切试验结果提出了很多界面剥离承载力公式。根据文献调研,共收集到12个界面剥离承载力模型,现逐一介绍如下:

(1) Hiroyuki & Wu 模型 [31]

 

(2.1a)

 

(2.1b)

式中, (MPa)为平均粘结应力; (mm)为粘结长度; 为界面剥离承载力。

(2) Tanaka模型 [63]

 

(2.2a)

 

(2.2b)

(3) Gemert模型 [27,30]

 

(2.3)

式中,ft(MPa)为混凝土抗拉强度。

(4) Chaallal et al. 模型 [64]

 

(2.4a)

 

(2.4b)

式中Ea为胶层的弹性模量;ba为胶层宽度;IfFRP的惯性矩;ta为胶层厚度。

(5) Maeda et al. 模型 [32]

 

(2.5a)

 

(2.5b)

 

if , then

(2.5c)

 

(2.5d)

(6) K. Izumo 模型 [65]

对碳纤维

 

(2.6a)

对芳纶纤维

 

(2.6b)

式中,fc(MPa)为混凝土抗压强度。

(7) Sato 模型 [65]

 

(2.7a)

 

(2.7b)

 

if , then

(2.7c)

 

(2.7d)

式中, mm,是混凝土参与工作宽度。

(8) M. Iso 模型 [65]

 

(2.8a)

 

(2.8b)

 

if , then

(2.8c)

 

(2.8d)

(9) Neubauer & Rostasy 模型 [33]

 

(2.9a)

 

(2.9b)

 

  if

(2.9c)

 

    if

(2.9d)

式中,bc(mm)为混凝土块体宽度,βw为宽度系数。

(10) Khalifa 模型 [66]

 

(2.10a)

 

(2.10b)

 

if , then

(2.10c)

 

(2.10d)

式中,fc’ (MPa)为混凝土圆柱体抗压强度。

(11) 杨勇新等模型 [67]

 

(2.11a)

 

(2.11b)

 

(2.11c)

(12) Chen & Teng 模型 [36]

 

(2.12a)

 

(2.12b)

 

           if

(2.12c)

 

   if

(2.12d)

 

(2.12e)

2.4.3不同剥离承载力模型对关键影响因素的考虑对比

上述12个剥离承载力模型对2.4.1节中提到的前4个关键影响因素考虑程度的对比见表2-3。由表可见,早期模型考虑的影响因素都比较少,而近期的模型对各影响因素的考虑相对比较全面一些。尤其是有效锚固长度Le,在近期的模型中大多都考虑了。

2-3 不同强度模型对关键因素的考虑

 

  

混凝土强度

FRP片材刚度

有效锚固长度

宽度比

1

Tanaka [63]

No

No

No

No

2

Hiroyuki & Wu [31]

No

No

No

No

3

van Gemert [27,30]

Yes

No

No

No

4

Maeda et al [32]

Yes

Yes

Yes

No

5

Neubauer & Rostasy [33]

Yes

Yes

Yes

Yes

6

Khalifa et al. [66]

Yes

Yes

Yes

No

7

Chaallal et al. [64]

No

Yes

No

No

8

Chen & Teng   [36]

Yes

Yes

Yes

Yes

9

Izumo [65]

Yes

Yes

No

No

10

Sato [65]

Yes

Yes

Yes

No

11

Iso [65]

Yes

Yes

Yes

No

12

杨勇新 [67]

Yes

Yes

Yes

No

2.5 FRP-混凝土界面粘结性能本构模型

2.5.1 概述

面内剪切试验不仅被用来测定FRP-混凝土界面的剥离承载力同时也被用来测定界面的局部粘结-滑移本构关系 [32,35,45,46,61,62,68,69] 。由面内剪切试验,界面粘结-滑移本构关系一般通过以下两种方法获得:

(1) FRP上布置应变片,量测FRP内的轴向应变分布ef,而后通过以下差分方程可以得到相应的局部粘结应力t

 

(2.13a)

同样局部滑移s可以通过对FRP应变从自由段开始按下式积分得到:

 

(2.13b)

这方法虽然从理论上说非常简单,但是在实际分析中却遇到很多困难。首先,由于应变片标距的限制,应变测点不可能布置得非常密,因而由差分def/dx得到的界面粘结应力的误差也就相对较大。更重要的是,由于界面下混凝土中裂缝和材料组分的随机分布,对实测FRP应变有很大影响。例如,如果应变片下正好出现界面剥离裂缝,则此处测得的应变将远大于临近位置的FRP应变;而如应变片正好贴在一块骨料上方,则此处的应变又将远小于临近位置的应变。因此,很多研究者发现,即便参数完全一样,不同试件测得的局部粘结-滑移关系也会有很大差异 [45,62] 。因此,现阶段通过量测FRP应变分布还很难获得可靠的界面局部粘结-滑移关系。

(2) 通过加载端的荷载-滑移曲线推算出界面的粘结-滑移关系(例如文献 [62] 。但是,进一步的研究发现,荷载位移曲线对粘结-滑移关系并不是非常敏感,不同的局部粘结-滑移关系可以得到相似的荷载滑移曲线。

因此,目前用试验方法获得FRP-混凝土的界面粘结-滑移关系还存在很多困难。

根据Taljsten [23] 基于非线性断裂力学的研究,在FRP锚固长度足够大的情况下,界面剥离承载力由下式给出:

 

(2.14)

式中, 为界面破坏能,它等于粘结-滑移曲线所包围的面积(2-9)。由于该公式和粘结-滑移曲线形状无关,因此它对理解界面剥离行为的一些影响参数很有帮助。

界面破坏能

2-9 界面破坏能

2.5.2 现有的本构模型

尽管通过面内剪切试验直接获得界面粘结-滑移本构关系非常困难,一些研究者还是提出了一些界面粘结-滑移本构关系。在现有文献中,共收集到6个界面粘结-滑移本构关系。另有一些试验者虽然给出了粘结-滑移本构关系,但没有给出其中参数的确定方法,因而无法进行分析对比,故这里不再列出。下面分别介绍这6个模型:

(1) Neubauer & Rostasy 模型 [9]

该模型为线性模型,粘结应力随滑移增加而线性上升,至剥离强度tmax后突然降低到零。这个模型在FRP-混凝土界面研究早期被广泛采用,Neubauer & Rostasy通过70个面内剪切试验结果回归给出了该模型中的参数,其表达式如下:

      if

(2.15a)

 

*     if

 

(2.15b)

 

(2.15c)

 

(2.15d)

式中, * (MPa) (mm) 为局部粘结应力及滑移; 为最大粘结应力,称为局部粘结强度; 对应的滑移量(图2-9); 为宽度修正系数。

(2) Nakaba et al. 模型 [45]

Nakaba等人进行了30个面内剪切试验研究,并测量了FRP的应变分布情况,进而由FRP应变分布给出界面的粘结-滑移本构关系。该模型的公式为:

 

(2.16a)

 

(2.16b)

 

mm

(2.16c)

由于该模型基于实测FRP应变,因此从曲线形状上来说,该本构模型是最接近实际情况的。但如前所述,由于根据FRP应变分布确定界面粘结-滑移关系的方法会导致很大误差,因此在Nakaba等的试验中不同试件之间离散也很大,从后面的比较也可以看出,该模型给出的界面破坏能 偏大,过高估计了界面的剥离承载力。

(3) Savioa et al. 模型 [70]

Savioa等人在Nakaba的工作基础上,用他们的试验结果对Nakaba模型中的参数进行了修正,最后得到的粘结-滑移模型为:

 

(2.17a)

 

(2.17b)

 

mm

(2.17c)

(4) Monti et al. 模型 [71]

Monti等首先假设界面粘结-滑移关系为双线性模型,这一简化模型在分析FRP-混凝土界面行为中也被广为采用,特别是由该模型可直接得到界面剥离承载力的解析解 [35] ,因而对于工程设计非常有用。Monti通过试验得到模型中的参数,最后给出的公式为:

   if

(2.18a)

 

  if

(2.18b)

 

    if

(2.18c)

 

(2.18d)

 

(2.18e)

 

(2.18f)

 

(2.18g)

式中,sf(mm)为粘结应力降低到零时对应的滑移量。

(5) Dai & Ueda 模型 [61]

Dai & Ueda用很软的胶层将FRP和混凝土粘结在一起,并发现这样可以提高界面的剥离承载力,根据29个胶层刚度KaKa=Ga/taGa为胶层剪切模量)在0.14~1.1GPa/mm的面内剪切试验结果,Dai & Ueda给出的界面粘结-滑移本构关系为:

(2.19a)

 

(2.19b)

 

(2.19c)

 

(2.19d)

 

(2.19e)

 

(2.19f)

 

(2.19g)

 

(2.19h)

(6) Ueda et al. 模型 [62]

基于同样一批试件,Ueda等人又提出了另一个界面粘结-滑移本构关系,该模型的公式为:

 

(2.20a)

 

(2.20b)

 

(2.20c)

2-10aNeubauer模型,Savioa模型,Nakaba模型和Monti模型的粘结-滑移本构关系曲线对比,可见这四个模型的 都差不多,Monti的模型可以看作是Nakaba模型的一个简化,而Neubauer模型则相对过于简化;图2-10bNakaba模型和Dai & Ueda模型及Ueda et al.模型的粘结-滑移关系曲线对比,后两个模型由于是基于非常软胶层( )的试验结果,对于普通胶层( )时给出的粘结强度明显偏大过多。

(a) Neubauer & Rostasy [9] , Nakaba et al. [45] Savioa et al. [70] , Monti et al. [71] 建议的粘结-滑移模型对比

(b) Dai & Ueda [61] , Ueda et al. [62] Nakaba et al. [45] 建议的粘结-滑移模型对比

2-10 不同粘结-滑移模型对比

2.6 小结

本章对FRP-混凝土界面力学性能的研究现状进行了一个比较全面的回顾对现有的试验结果、分析方法、剥离承载力模型以及粘结-滑移本构模型等资料都进行了全面的收集和整理。尤其是收集了不同研究者所完成的大量的面内剪切试验资料,这些资料所覆盖的参数范围较大,对本文进行深入的研究提供了可靠的试验依据。

尽管有不少研究者分别对剥离承载力和界面粘结-滑移本构关系提出了不同的模型,但这些现阶段研究存在着以下问题:

(1)    虽然进行了大量的试验研究,但是对剥离破坏的内在机理认识得还很不够,也无法提出可以真实再现剥离破坏过程的数值模型;

(2)    虽然已经提出了很多剥离承载力模型,但这些承载力模型主要是基于试验结果回归,缺少理论依据,不能保证其合理性;

(3)    试验量测界面粘结-滑移关系非常困难,且结果离散度很大,测得的粘结-滑移模型的准确性存在疑问;

(4)    与试验结果对比表明,现有粘结-滑移模型计算结果和试验之间存在较大差异(详细比较参见第五章);

因此,有必要提出一个可靠的模拟FRP-混凝土界面剥离问题的有限元模型,并基于有限元模型对界面剥离破坏机理进行探讨,提出能够正确反映界面行为的粘结-滑移本构模型。

目 录

I

 

I

第一章 绪论

1

第二章 FRP-混凝土界面力学性能研究综述

5

第三章 基于宏观单元的界面力学性能的数值模拟

25

第四章 基于精细单元的界面力学性能的数值模拟

41

第五章 界面粘结-滑移本构关系

59

第六章 抗弯加固剥离研究综述

80

第七章 抗弯加固剥离的分析

94

第八章 抗剪加固剥离研究综述

134

第九章 抗剪加固剥离的分析

150

第十章 结论

178