FRP-混凝土界面行为研究/Studies on FRP-Concrete Interface

陆新征/Xin-zheng Lu

清华大学工学博士学位论文 / Tsinghua University Dissertation

2004

第七章 抗弯加固剥离的分析

7.1 引言

上一章介绍了IC debonding的基本概念以及试验和理论研究现状。由于IC debonding破坏的机理十分复杂，其分析难度要远大于本文二～五章介绍的面内剪切剥离破坏问题，而面内剪切剥离破坏的机理在本文之前还没有得到很好的研究。同样的，IC debonding的研究深度也很不够。从试验研究角度而言，虽然大量的试验研究得到了很多重要数据，但是从中还无法对IC debonding的破坏机理加以正确解释；从数值分析的角度而言，目前的数值分析大部分还停留在少量试件分析上，无论在界面本构模型还是受弯剥离机理方面，都没有能够提出一个可以正确模拟IC debonding破坏的数值模型；从设计公式而言，现有的设计公式均或多或少的对受弯剥离机理认识不足，与试验结果差距较大。因此，目前对IC debonding的研究还停留在一个很初级的阶段。

因此，本章主要完成了以下研究工作：

(1)      进行了3个受弯加固剥离破坏试验，了解受弯剥离破坏的基本过程，量测了受弯剥离破坏的承载力和FRP应变分布；

(2)      基于第四章提出的精细单元有限元模型，对受弯剥离破坏中FRP-混凝土界面行为进行了深入研究，提出了受弯剥离的界面粘结-滑移关系；

(3)      基于无网格法，将弥散裂缝模型和分离裂缝模型相结合，提出了组合裂缝模型，并用该模型对IC debonding中界面滑移量和裂缝宽度之间的关系进行了研究，验证了基于裂缝宽度的剥离破坏判据；

(4)      根据上述界面粘结-滑移关系和剥离判据建立了相应的界面单元模型，并将其嵌入通用有限元程序中，使受弯剥离可以通过一般钢筋混凝土有限元模型加以模拟。通过与45个试件对比，验证了该模型可以准确模拟受弯剥离，并解释了剥离破坏的机理；

(5)      基于有限元分析和试验结果，提出了界面粘结应力分布的简化计算模型及其相应的计算公式和设计公式，通过与80个试件对比，表明本文提出的设计公式可以正确预测受弯剥离的承载力，并远优于现有模型。

7.2 受弯剥离破坏试验研究

7.2.1 试验方案

试件的尺寸均为1700（长）×150（宽）×200（高），混凝土设计强度为C30，均为适筋梁。

试件配筋、混凝土强度和加固方式见表7-1。

表7-1 试件参数

试件 编号	混凝土轴心抗压强度 fc (MPa)	纵向配筋	箍筋	粘接延伸 长度Ld(mm)	试验承载力 Pu(kN)
对比梁	25.8	梁底纵筋3f8，fy=288MPa 架立筋2 f6，fy=301MPa	f6-100 fy=301MPa	未加固	31
B1	23.7			470	65
B2	23.0			470	67
B3	23.0			470	66

注：f_y为钢筋屈服强度

CFRP布抗拉强度、弹性模量和极限拉应变列在表7-2中。

表7-2 碳纤维布的材料性能

CFRP布	厚度 (mm)	fCFS (MPa)	ECFS (105MPa)	eCFS (me)
	0.11	3500	2.35	14890

钢筋、混凝土及FRP应变片布置方案见图7-1。

图7-1 应变片布置图

7.2.2 试验结果

对比梁因配筋率较小，跨中截面开裂后不久即达到极限弯矩，破坏时在梁跨中附近出现两条临界裂缝，裂缝几乎发展到顶，极限荷载P_u=31kN。

加固试件B1~B3梁底CFRP布的粘结延伸长度均为470mm，极限荷载P_u=65~67kN（图7-2），虽然承载力有显著提高，但最终因梁底CFRP布产生剥离而破坏。荷载P=20kN时，在跨中附近，梁背面下部出现第一条竖向裂缝，裂缝高度约为25mm；随着荷载增加，在梁纯弯段陆续出现新的裂缝，荷载P=34kN时，裂缝基本出齐，裂缝间距约为100mm，宽度小于0.02mm；荷载P=42kN时，裂缝高度约为梁高的0.7倍；加大荷载，梁纯弯段裂缝高度几乎不再增加，但位于剪跨段加载点的裂缝，宽度和高度明显发展；荷载P=47kN时，梁底碳纤维布发出响声；荷载为P=66kN时，裂缝迅速向上发展，梁底碳纤维布从内向外与梁底混凝土瞬时发生脱离，破坏过程非常快，梁承载力迅速丧失。B2试件FRP应变分布发展见图7-3。

试验研究对了解剥离承载力、破坏过程及应变发展提供了很好的基础。但是，由于界面问题的复杂性，完全依赖试验来了解剥离破坏的机理还存在一定的困难。因此，需要在试验研究的基础上，提出合适的数值模型，来揭示剥离机理，并提出合理的计算模型。

图7-2 试验荷载位移曲线              图7-3 B2试件FRP应变发展

7.3 基于精细单元的有限元分析

7.3.1 精细单元有限元模型

在第四章的研究工作中，提出了一种用精细单元分析FRP-混凝土界面破坏的有限元模型，通过该模型可以得到FRP-混凝土界面粘结-滑移关系。因此，本章使用该模型来继续研究受弯剥离破坏中FRP-混凝土之间的界面行为。

如前所述，受弯剥离不仅取决于剪力引起的界面粘结应力，还取决于受弯裂缝的张开引起的局部粘结应力。由于弥散裂缝模型对混凝土单元内的开裂应变做了平均化处理，因此只有单元非常小的时候（即精细单元模型）才能正确反映裂缝附近的滑移集中情况。Wu & Yin ^[56] 试验了一批CFRP加固的三点弯曲素混凝土梁，其构件尺寸如图7-4所示，截面为100×150mm，混凝土抗压强度为24MPa，CFRP布的纤维厚度为0.11mm，弹性模量为230MPa。对该试件建立精细单元模型（单元平均尺寸为0.5mm）进行分析。之所以选择该试验，主要是由于该试验构件尺寸较小，精细单元模型的计算规模计算机能够承受；且由于没有钢筋，精细单元建模难度也相对较小。计算得到的荷载挠度曲线和试验得到的荷载挠度曲线对比如图7-5所示，试验和有限元分析得到的裂缝分布对比如图7-6所示。可见精细有限元模型和试验结果吻合良好，表明可以基于精细有限元模型对界面剥离行为进行分析研究，得到受弯剥离破坏的界面粘结-滑移关系。

图7-4 Wu & Yin试验梁

图7-5 荷载挠度曲线对比

(a) 计算结果

(b) 试验结果

图 7-6 裂缝分布对比

7.3.2 界面粘结-滑移关系

根据精细单元计算结果，对于远离受弯裂缝的FRP-混凝土界面（距离受弯裂缝15mm以上），其界面裂缝开展如图7-7所示。该裂缝形状和面内剪切试验的裂缝形状相似，说明此处的受力状态和面内剪切试验相近。图7-8为精细单元模型得到的此处的界面粘结-滑移曲线，该曲线可直接采用第五章提出的界面粘结-滑移本构关系，本章称该粘结-滑移关系为“粘结-滑移模型I”。

    

图 7-7 远离受弯裂缝的界面裂缝形状图      7-8 远离受弯裂缝的界面粘结-滑移关系

但是，对于靠近受弯裂缝的界面，其受力状况与面内剪切的情况却有所不同。用精细有限元分析得到的受弯裂缝附近界面剥离破坏时的裂缝形状如图7-9所示，可见在受弯裂缝附近，还有很多树根形的界面小裂缝，这些裂缝在面内剪切试验中不会出现。所以，此处的剥离破坏机理势必与面内剪切的破坏机理有所不同，相应的其粘结-滑移关系也应该有所差别。

根据精细单元计算得到的受弯裂缝附近的界面平均粘结-滑移关系见图7-10，其上升段与第五章得到的界面粘结-滑移本构模型的上升段相近，但下降段有明显差别。粘结应力达到峰值后，不再是平缓下降，而是很快降至零，呈现出脆性的破坏形式，这主要是由于大量受拉破坏的树根形裂缝增加了界面破坏的脆性。本章称受弯裂缝附近的粘结-滑移关系为“粘结-滑移模型II”。基于精细单元有限元模型的计算结果和第五章的研究结果，本文建议粘结-滑移模型II如下：

	如	(7.1a)
	如	(7.1b)

式中， 和s₀的计算方法同前。

   

图7-9 受弯裂缝附近的树根状界面裂缝   图 7-10 受弯裂缝附近界面的粘结-滑移关系

7.3.3 双重剥离破坏准则

由于弥散裂缝模型对混凝土的开裂应变进行了平均化处理，因此除非单元尺寸非常小，否则无法准确反映裂缝附近的滑移集中问题。而精细单元模型由于模型复杂且计算量过大，大规模应用存在难度，因此有必要提出适当的剥离破坏准则，使得普通单元尺寸的有限元模型也可以较好地模拟裂缝附近滑移集中导致的剥离破坏。

如图7-11a所示，如果界面距离受弯裂缝较远，即与界面单元相连的混凝土单元没有开裂，则其剥离破坏主要是由界面的整体单向滑动引起，其滑移场比较均匀，即属于“粘结-滑移模型I”，此时通过普通界面单元的形函数可以较好地估计单元内部的滑移状态。这种情况下的剥离判据非常简单，即当界面单元节点的滑移量大于s₀ (s₀为达到粘结强度 时的滑移量)，则认为界面剥离开始。本章将这种和受弯裂缝无关的剥离破坏称为“无裂缝剥离准则”。

但是，如果与界面单元相连的混凝土单元中存在裂缝，则界面单元内部的滑移场将不再是均匀变化的，而是存在滑移集中，如图7-11b所示。根据精细单元分析结果，该滑移集中与受弯剥离破坏关系十分密切。能否准确计算该滑移集中是分析受弯剥离的关键问题。对于普通单元尺寸的有限元模型，这个滑移集中很难用界面单元的形函数加以描述，这时必须另想办法来分析这个滑移集中问题。由于裂缝两侧界面的总滑移量等于裂缝的宽度，因此如果假设裂缝两侧界面滑移量是相等的，则当混凝土裂缝宽度大于2s₀时，裂缝两侧将发生剥离破坏。这个基于受弯裂缝宽度的剥离判据被称为“裂缝剥离准则”，它与前面介绍的“无裂缝剥离准则”一起，称为“双重剥离破坏准则”。

如果“裂缝剥离准则”的假设条件成立的话，那么只要能够较好地估算混凝土单元内的裂缝宽度，就能准确地估计裂缝附近由滑移集中导致的剥离。而混凝土弥散裂缝模型估算裂缝宽度已经有了成熟的分析方法 ^[88] ，进而就可以用普通尺寸单元有限元模型来分析受弯剥离问题。

(a)                   (b) 

图7-11未开裂和开裂混凝土单元下界面单元内的滑移场

7.4 基于组合裂缝模型的数值分析

7.4.1 概述

上一节基于精细单元模型的分析得到受弯剥离的界面粘结-滑移关系，并提出了基于裂缝宽度的“裂缝剥离破坏准则”。但是，由于精细单元模型本身仍然是基于弥散裂缝模型，无法直接得到实际裂缝的宽度。故“裂缝剥离破坏准则”中的重要假设，即：“裂缝两侧界面滑移大致相等，裂缝附近的滑移量约等于裂缝宽度的一半”尚缺乏依据。因此，本节提出了基于弥散裂缝模型和分离裂缝模型的组合裂缝模型，由分离裂缝可以直接得到实际裂缝宽度，进而验证“裂缝剥离破坏准则”的正确性。

7.4.2 基于无网格法的组合裂缝模型

由于有限元方法对单元网格的依赖性，基于有限元方法的分离裂缝模型往往由于网格重划分的工作量过大，故其具体实现非常困难。而近年来兴起的无网格伽辽金法 ^[134,135] 由于不需要单元网格，可以较灵活地布置节点和物理边界，因而在裂缝扩展等方面得到了广泛的应用。无网格伽辽金法的基本方程以及相应的数值实现方法参见文献 [135] ，本节将着重讨论无网格法在钢筋混凝土结构断裂分析中的应用。

与金属结构等不同，混凝土，特别是钢筋混凝土结构断裂时，存在着大量的微小裂缝，用分离裂缝逐个模拟这些微裂缝实际上是不可能的，而将这些微裂缝视为均匀弥散在混凝土中，并用弥散裂缝模型加以模拟也较为合适。当裂缝扩展成宏观裂缝，并成为受弯剥离破坏的关键因素时，由于弥散裂缝模型无法直接得到实际裂缝宽度，此时则用分离裂缝模型来描述更为合适一些。本文基于无网格方法，将常用的弥散裂缝模型和分离裂缝模型结合起来，用前者来模拟混凝土中大量存在的微裂缝，而后者来模拟可能对剥离有重要影响的宏观裂缝。这种将弥散裂缝模型和分离裂缝模型相结合的方法，本文称之为组合裂缝模型。由于无网格法不需要随裂缝发展对整个网格拓扑关系进行修正，因此建立在无网格法基础上的分离裂缝模型其实施难度要远小于普通的有限元方法。

由于本文分别用不同的裂缝模型描述宏观裂缝和微裂缝，因此需要引入相应的区分标准。本文建议使用混凝土受拉软化应力降低到零时对应的开裂应变 作为区分两种模型的标准（图7-12）。 由混凝土断裂能计算得到，已在第四章中作了介绍，其中裂缝带宽度 取为节点的平均间距。

在Hillerborg ^[89] 的工作中提出，在分离裂缝尖部布置虚拟裂缝，虚拟裂缝由一系列受拉弹簧相连接，弹簧的受拉软化荷载位移关系由混凝土的断裂能给出，当虚拟裂缝达到受拉软化段终点后就用普通的分离裂缝模型来代替虚拟裂缝模型，这样就可以较好的克服分离裂缝模型的网格依赖性。本文的方法和Hillerborg的方法本质上是相似的，只是用弥散裂缝模型来代替Hillerborg的虚拟裂缝，这样处理起来更加简单一些。当混凝土中的拉应力达到抗拉强度f_t时，则发生断裂，此时用弥散裂缝模型通过改变材料本构来描述此时的断裂行为。当开裂应变大于 时，则通过增加节点和物理边界，用分离裂缝模型来描述宏观裂缝。

图 7-12 不同裂缝模型区分

在无网格法中虽然不需要固定的单元网格划分，但要随着裂缝的发展而不断调整积分点和节点之间的相互关系，其实施步骤如下：

a 影响域的设定及裂缝边界的处理

由于宏观裂缝的发生和发展，节点和高斯积分点之间的关系是不断变化的。在文献 [136] 中，提到了多种无网格法处理裂缝附近的节点和积分点关系的方法。本文选用了较常用的“可视”方法，其基本算法如下：

(1)    对于某一高斯积分点P_int，首先判断各个节点和它的关系，即在节点和该高斯积分点之间连线，如果该连线和某个边界（可以是实体边界，也可以是裂缝）相交，则认为该节点被这条边界“遮蔽”了，不参与该高斯积分点的计算；

(2)    对于所有未被“遮蔽”的节点，选取和该高斯积分点距离最近的6个节点 ^[137] 参与该高斯积分点的运算；

(3)    以参与计算的最远节点的距离作为该高斯积分点的影响半径。

根据以上步骤得到的影响域形状以及节点和高斯积分点之间的关系如图7-13所示。对每个高斯积分点重复以上步骤，就可以得到无网格伽辽金方法计算所需的各项几何参数。

图7-13 影响域和边界的处理

b 宏观裂缝的生成和开展

为了便于重新布置节点和物理边界，本文假设所有的裂缝都是从构件边缘开始逐步向内发展的。对于纯弯或弯剪组合受力的钢筋混凝土梁，这个假设一般都是成立的。宏观裂缝出现的具体实施过程如下：

（1）       对于某一确定的荷载步，根据距离边界最近的高斯积分点的拉应变值外推出构件边界上相应位置点 的拉应变值。由于无网格伽辽金方法中高斯点的密度一般是节点密度的4倍以上，因此使用高斯点对开裂点位置进行判断，其精确程度将高于使用节点拉应变来判断；

（2）       如果某个边界上外推点 的最大拉应变大于 ，则认为该点将出现宏观裂缝；

（3）       在 两侧延原构件边缘方向增加两个新的节点，各偏移一个很小的量 ，同时延 的最大压应力方向在构件内部增加一个新的节点 ，即裂缝尖端节点。 距构件边缘的距离为2倍的高斯点间距 ，并由这三个节点组成两个新的的边界即裂缝边界，如图7-14所示；

（4）       用第上节中提到的方法重新建立在新的节点和边界分布下的节点和高斯积分点关系，重新计算该荷载步，得到裂缝尖端节点 的最大拉应变 。

（5）       如果 ，即此时的裂缝深度应该比给定的深度要大，需要修正裂缝深度。将 继续沿现有裂缝方向向前移动1倍的高斯点间距 。

重复步骤（4），（5）直至 。则可以认为在当前荷载步下构件宏观裂缝生成已经完成。

在施加新一级荷载后，得到各个裂缝尖端节点 的拉应变。如果 的主拉应变大于 ，则在该尖端节点附近再增加一个新的节点 ， 和 的距离很近。同时沿 的主压应变方向前进2 增加一个新的节点 ，如图7-15所示。以 为新的裂缝尖端节点，修正节点和高斯点之间的关系，重新按前述步骤计算该荷载步下的裂缝开展，直至 的拉应变小于 。

  

图7-14宏观裂缝的生成                 图7-15 宏观裂缝开展

7.4.3 计算模型和结果

以7.2节的B2梁为例，利用无网格法建立分析模型如图7-16所示，节点间距为25mm。由于无网格方法节点配置非常灵活，因而可以在任何配置钢筋的位置增加节点。本文使用传统混凝土有限元分析中常用的链杆单元来模拟钢筋，钢筋与混凝土共用节点（即未考虑钢筋与混凝土的粘结-滑移），如图7-17所示。在无网格伽辽金方法得到的混凝土刚度矩阵中的相应位置增加钢筋链杆单元刚度矩阵，就可以得到钢筋对整体结构的影响。

图 7-16 B2试件的无网格法模型

与钢筋类似，在梁底布置了FRP单元，FRP仍然使用桁架单元加以模拟。并在FRP和混凝土之间设置界面单元。界面单元的法向刚度设为无穷大，切向粘结-滑移关系取“粘结-滑移模型I”。在混凝土出现宏观裂缝后，不仅要改变混凝土的网格划分，还要改变FRP的网格划分，即在混凝土边界增加节点的部位同时增加新的FRP单元，并在边界新的混凝土节点和FRP节点之间布置界面单元。新的界面单元的初始应力和滑移由其两侧原有界面单元的应力和滑移插值得到（见图7-18），其粘结-滑移关系服从“粘结-滑移模型II”。

图7-17 混凝土和钢筋组合      图7-18 宏观裂缝出现后增加的界面单元和FRP单元

计算得到的荷载位移曲线如图7-19所示。需要说明的是，由于使用了分离式裂缝模型进行分析，在宏观裂缝表面附近由于滑移集中而导致局部严重破坏，使计算不再收敛，因此，计算极限荷载要小于试验结果，具体原因将在后续分析中给出详细说明。

图7-19 荷载位移曲线对比

由组合裂缝模型计算得到梁的变形及宏观裂缝分布如图7-20所示，在计算中共出现了5条用分离裂缝模型表示的宏观裂缝。从计算裂缝图和试验裂缝图对比可以看出，计算得到的裂缝位置、形状和试验结果还是比较接近的。由于目前的组合裂缝模型还没有能够考虑裂缝的交汇以及相互作用，因此得到的宏观裂缝比试验的要多，且间距也要小一些。

(a) 计算裂缝情况

(b) 试验裂缝情况

图 7-20 裂缝分布与形状对比

导致剥离破坏的关键受弯裂缝——C3裂缝在不同荷载下计算得到的裂缝宽度分布如图7-21所示。可见由于底部钢筋和FRP的约束作用，裂缝宽度在中部最大，而底部的裂缝宽度反而较小，这与试验观测结果也是一致的。

图7-21 C3 裂缝宽度沿高度分布

由计算得到界面单元的滑移分布如图7-22所示，其中，P=39.25kN为钢筋屈服前的滑移分布，P=58.60kN为接近剥离破坏发生时的滑移分布。虚线代表各条宏观裂缝的位置。从对比中可以看出，在钢筋屈服前，界面的粘结应力相对比较均匀，在裂缝附近虽然有一定的滑移集中，但是并不显著。然而，接近剥离破坏时，在宏观裂缝附近的滑移集中现象则非常明显。当然，在组合裂缝模型中，由于人为地对微裂缝和宏观裂缝进行了区分，并用完全不同的裂缝模型加以模拟，因而这种滑移集中效应格外明显。真实构件里面往往会因为受弯裂缝旁边还有大量的树根状界面裂缝，使得滑移集中现象未必有这么明显。

图7-22 界面滑移分布

由组合裂缝模型计算得到的关键受弯裂缝C3底部宽度与裂缝处界面单元滑移量对比如图7-23所示。其中，“总滑移量”为裂缝左右两侧滑移之和。从图中可以看出，在较低的荷载水平下，钢筋还未屈服，由于裂缝张开宽度有限，滑移主要是由界面整体滑移导致，裂缝右侧的滑移明显比左侧要大，且裂缝两侧的滑移量差距相对较大。而当钢筋屈服后，裂缝宽度增加较多，裂缝张开引起的滑移成为裂缝附近滑移场的主要部分。此时裂缝两侧的滑移场差距变小，而接近剥离破坏时，裂缝两侧的滑移量已经基本相等，且总滑移量和裂缝宽度始终一致。由此验证了本文上一节提出的“裂缝两侧界面滑移大致相等，裂缝附近的滑移量约等于裂缝宽度的一半”的假设。

图7-23 裂缝宽度与滑移的关系

不过，组合裂缝模型在达到剥离荷载时计算收敛非常困难，经分析主要是由于以下原因：如图7-24所示，由于在分离裂缝附近有很强的滑移集中，此处的界面应力也特别大，从而在分离裂缝表面节点处出现严重的局部破坏集中问题。在试验中，此处的混凝土往往会被拉下来，或者出现图7-9所示的树根状裂缝。而本文目前建议的组合裂缝模型还无法处理类似的破坏集中问题，因而无法算出此后的剥离破坏过程。

图 7-24 受弯裂缝附近局部破坏导致不收敛

7.4.4 小结

本节用基于无网格法和组合裂缝模型，对FRP-混凝土IC debonding的机理进行了分析。分析结果表明，利用组合裂缝模型可以较好地反映主要裂缝附近的滑移场集中现象，并能较准确地估计剥离出现的时刻。通过对比裂缝两侧界面单元的滑移量和裂缝宽度，验证了用裂缝宽度来估计裂缝附近的滑移集中效应是合理的。

7.5 基于普通单元的有限元分析

7.5.1 概述

前两节着重利用精细单元有限元方法和无网格法对受弯剥离的机理进行了分析。通过精细单元模型分析，得到了受弯剥离的界面粘结-滑移关系，并进一步基于无网格法和组合裂缝模型的分析，验证了本文提出的基于裂缝宽度的剥离破坏准则。但是，精细单元有限元方法计算量过大，而基于无网格法组合裂缝模型的分析则由于程序本身的非线性分析能力有限，且对程序使用者要求较高，因此这两种方法的大规模应用目前还存在问题。尽管如此，精细单元模型和无网格法分析所获得的结果为采用普通单元的有限元分析奠定了基础和依据，从而为简化受弯剥离的数值分析提供了可能。

本节提出了一种基于普通单元的有限元模型，该模型具有以下特点：

（1）借助通用有限元程序，并尽量简化计算模型，便于读者掌握和应用；

（2）单元尺寸大小适中，计算量不大。

该模型的核心之处是开发了一个FRP-混凝土之间的界面单元模型，它的粘结-滑移关系和剥离破坏准则基于前两节的研究成果。把这个界面单元嵌入到通用有限元程序中，就可以用普通混凝土单元分析受弯剥离问题，便于大规模应用。

7.5.2 用户自定义界面单元

基于前述建议的界面粘结-滑移关系和剥离破坏准则，本文自行开发了用于分析受弯剥离的FRP-混凝土界面单元。该界面单元有四个节点，由两组弹簧组成（见图7-25），其中上面两个节点与混凝土单元相连，下面两个节点与FRP单元相连。对应节点间由一个水平弹簧K_u和一个竖向弹簧K_v相连。界面的非线性行为将由这些弹簧加以描述，介绍如下：

(1) 水平弹簧K_u

如果与界面单元相连的混凝土单元没有开裂，则K_u的力-位移关系服从“粘结-滑移模型I”，即：

式中，F为弹簧单元K_u内力；L为界面单元的长度； 为界面粘结应力，由粘结-滑移模型计算；s为混凝土与FRP节点间的水平位移差。如果s大于s₀，则满足“无裂缝剥离准则”，开始剥离。根据“粘结-滑移模型I”，K_u的内力随s增大而逐渐降低至零。

如果与界面单元相连的混凝土单元中存在弯曲裂缝，则还要验算“裂缝剥离准则”。根据Kwak & Filippou ^[88] 的研究，当混凝土单元尺寸小于3倍最大骨料粒径范围内时，可以认为弥散裂缝模型中的开裂应变在单元内是均匀分布的，因此裂缝宽度w可以通过下式计算：

(7.2b)

式中， 为裂缝张开方向的开裂应变，它等于总应变减去弹性应变。这样，如果裂缝宽度大于2s₀，则“裂缝剥离准则”满足，发生剥离破坏。根据“粘结-滑移模型II”，K_u的内力骤降为0。

（2）竖向弹簧K_v

竖向弹簧K_v的刚度服从以下关系：

如果界面单元内没有剥离破坏，或虽然发生剥离破坏但K_v的内力为压力，则认为K_v的刚度无穷大。如果界面单元已经发生剥离破坏，且K_v受拉，则K_v的刚度和内力等于0。

图7-25 界面单元

7.5.3 其他单元模型和本构模型

上述用户自定义单元可嵌入各通用有限元程序中，本文使用的有限元程序为MSC公司的通用非线性有限元软件MARC ^[73] 。除了上述界面单元外，其他单元都可以采用一般的单元和本构模型，所以本文称该模型为“普通单元的有限元模型”。例如，在本文分析中，混凝土单元使用的是MARC中四节点平面应力单元Element 3，混凝土单元的尺寸在15～50mm之间，属于普通尺寸的混凝土单元(图7-26)；钢筋单元使用的是MARC中的平面钢筋单元Element 143；FRP单元使用的是平面桁架单元Element 9。这些都是一般混凝土有限元分析所常用的单元模型。

混凝土本构使用的是MARC中自带的弹塑性混凝土模型，其屈服面、单轴等效荷载位移关系、受拉软化行为同4.2.3节，只是开裂后混凝土的受剪行为根据是否箍筋配置而有所不同。对于配了箍筋的混凝土梁，开裂后混凝土的裂面剪力传递系数取定值，即b＝0.4；对于未配箍筋的混凝土梁，由于受剪裂缝可能张开较大，因此一个固定的剪力传递系数可能不再合适，此时用Al-Mahaidi ^[77] 建议的变剪力传递系数模型加以模拟（式4.6d），其中

图7-26 有限元模型

钢筋采用的是理想弹塑性模型，钢筋和混凝土之间的界面分别采用以下两种不同的方式建模：

(1) 考虑钢筋和混凝土之间的滑移，粘结-滑移关系采用欧洲模式规范 MC90 ^[78] 建议模型，由下式给出：

	如	(7.3a)
	如	(7.3b)
	如	(7.3c)
	如	(7.3d)

式中， (MPa)为钢筋和混凝土的粘结应力， (mm)为钢筋和混凝土的滑移。参数 ， ， ， ， 分别为：

		(7.3e)
		(7.3f)
		(7.3g)
		(7.3h)
		(7.3i)

(2) 钢筋单元和混凝土单元之间共用节点，不考虑二者之间的滑移。

通过后面的计算比较发现，是否考虑钢筋滑移对构件刚度有一定影响，但是对构件剥离承载力影响不大，故大量算例验证模型时不再考虑钢筋滑移，以简化分析。

FRP使用的是线弹性+断裂材料模型，当FRP应力达到断裂应力时，则发生断裂，应力立刻降低至0。

7.6 有限元分析结果与试验结果对比

7.6.1 典型试件对比

以7.2节试验的试件B2为例，用7.5节建议的普通单元有限元模型加以分析，用位移控制加载，可以得到整个荷载挠度全曲线。计算结果和试验结果对比讨论如下：

a 荷载挠度曲线

荷载挠度曲线对比如图7-27所示。为了比较单元尺寸效应影响，分别采用了两种不同的单元尺寸加以比较，其中精细网格中混凝土单元的平均尺寸为15mm，粗糙网格中混凝土单元的平均尺寸为50mm。通过对比发现，在钢筋屈服后，精细网格的刚度略低于粗糙网格的刚度，这是因为精细网格中的应力集中比粗糙网格要严重一些，相应的界面单元也更容易破坏。而当剥离破坏发生后，精细网格由于有较多的单元逐个破坏，因此其曲线下降段比粗糙网格的要平缓一些。总的说来，两种不同网格计算得到的剥离荷载基本相同，因此采用本文建议的界面模型和有限元方法，单元尺寸效应的影响不大。同样的，为了比较钢筋滑移对计算结果的影响，分别计算了考虑钢筋滑移和不考虑钢筋滑移的情况。从图中对比可以看出，考虑钢筋滑移时，钢筋屈服后刚度比不考虑滑移的刚度要小一些，但对承载力影响不大。这主要是因为：剥离承载力受“双重剥离破坏准则”控制。“无裂缝剥离准则”和梁弯曲裂缝宽度无关，“裂缝剥离准则”受梁底部表面裂缝宽度控制，而表面裂缝宽度主要与FRP-混凝土界面刚度有关，钢筋-混凝土界面刚度对其影响不大，所以考虑钢筋滑移对剥离承载力影响不大。

图 7-27 B2试验与计算荷载-挠度曲线比较

图7-28为不同模型的计算结果对比，可以看出，7.4节组合裂缝模型的预测的剥离起始点和7.5节普通有限元模型（考虑双剥离破坏准则）的计算结果还是很接近的，只不过组合裂缝模型由于非线性收敛能力的限制而无法继续算到破坏。可是，如果不考虑双重剥离破坏准则，而仅仅基于界面单元节点滑移差来判断剥离（图7-28中对应“普通弥散裂缝模型”的计算曲线），就无法模拟裂缝附近滑移集中导致的剥离破坏，进而过高的估计了剥离承载力。这就是现阶段基于弥散裂缝模型无法正确模拟受弯剥离的重要原因 ^[54,56] 。因此，本文提出的双重剥离破坏准则对模拟受弯剥离至关重要。

图7-28 B2试件不同模型计算结果比较

b FRP应变分布

计算和试验得到的剥离破坏前的FRP应变分布对比如图7-29所示。如前所述，由于混凝土梁裂缝出现位置的随机性，以及实际应变片密度有限，应变片未必正好贴在裂缝位置，所以实测应变也往往会比计算应变要小一些，但基本规律还是一致的。

图7-29 B2试验与计算起始剥离纤维应变比较(P=65.0kN)

有限元分析得到的FRP应变发展如图7-30所示。在钢筋屈服前（P=43.2kN），梁内的受弯裂缝相对比较均匀，FRP应变分布基本和弯矩图形状相同，界面粘结应力主要由梁的剪力引起。在裂缝附近FRP应变有些波动，但影响有限。当钢筋屈服后（P=58.0kN），钢筋屈服区的弯曲裂缝宽度迅速增大，导致纯弯区边界处的裂缝附近局部滑移迅速增大，表现在FRP应变分布图上为在纯弯区边界附近有一个应变突变。此时，由裂缝张开引起的局部滑移成为界面滑移的主要部分。最后，在剥离发生前（P=65.0kN），界面应力主要由裂缝张开导致的滑移引起。剥离发生后，荷载迅速下降，剥离区FRP的应变基本为一定值。

图7-30 FRP应变发展

c 裂缝分布

有限元分析得到的裂缝分布图和试验结果对比如图7-31所示，可以看出有限元结果和试验结果同样吻合良好。通过有限元分析发现剥离首先从加载截面附近的裂缝处开始（纯弯区和弯剪区交界面），这也与试验观察相一致。

图 7-31 计算与试验裂缝对比

再以Yao et al. ^[40] 试验的构件GS-1和Rahimi et al. ^[107] 试验的构件B6为例，计算结果和试验结果对比如图7-32~7-27所示，可见计算结果与试验结果同样吻合良好，包括荷载位移曲线，FRP应变分布以及裂缝分布等等。钢筋滑移主要影响构件刚度，对承载力影响不大，因此，在下一节的验证分析中不再考虑钢筋滑移以简化分析。

图7-32 GS-1试件荷载挠度曲线对比

图7-33 GS-1FRP应变对比

图 7-34 GS-1 试件裂缝分布对比

图 7-35 B6试件荷载挠度曲线对比

图 7-36 B6试件FRP应变对比

图 7-37 B6试件荷载裂缝形状对比

7.6.2 大量试验验证

a 试验数据库

根据文献 [40,100,103,107-111,113,114] 的试验结果，一共有45个FRP加固混凝土梁发生IC debonding剥离破坏。以这些试件作为有限元分析的基础，对7.5节建议的普通单元有限元模型进行验证分析。

b 有限元结果与试验结果的对比

有限元计算得到的极限荷载和相应挠度如表7-3及图7-38、7-39所示，计算承载力与试验值的平均误差为-1.06％，方差为0.109，相关系数为0.9735，可见极限荷载计算值与试验结果非常接近。挠度计算结果的误差相对大一点，主要是因为：(1)如前所述，有限元模型中混凝土和钢筋间共用节点，会高估构件刚度；(2)剥离破坏发生前后，构件的刚度已经非常小了，此时对最大荷载的判断以及相应挠度的量测误差也比较大。尽管如此，本文提出的模型仍远优于各现有模型。因为文献 [54,56,129,131] 等现有的分析模型只能用于分析少数试件，且不同试件界面单元参数取值各不相同，这些参数缺少理论依据，实际上不能用来对大量试件进行计算分析。

表7-3 FEA与试验结果对比

注：NA，Not available，未提供相应挠度。

图 7-38 计算与试验承载力对比

图 7-39 计算与试验剥离挠度对比

计算得到的FRP剥离应变和试验得到的FRP剥离应变对比如图7-40所示，需要说明的是，在所有的45个试件中，只有23个试件提供了剥离应变记录。从对比中可以看出，计算和试验得到的FRP剥离应变的规律还是一致的，但是其数据离散度要大于承载力的离散度，且计算结果要比试验结果偏大一些。这是因为裂缝附近的FRP应变要比非裂缝位置的应变大一些，而试验中应变片密度有限，因而无法准确测量到裂缝处的剥离应变。

图 7-40 计算与试验剥离应变分布对比

通过大量的对比分析表明，本文建议的普通单元有限元模型可以较为正确的模拟IC debonding破坏。

7.6.3 参数讨论

如果不考虑双重剥离破坏准则，而只根据界面单元节点的相对滑移量来判断剥离，即相当于不验算“裂缝剥离准则”，则有限元计算得到的平均剥离承载力要比试验结果大40％。可见如果不验算“裂缝剥离准则”，则普通尺寸单元由于无法正确模拟裂缝附近的滑移集中，所以会明显高估剥离承载力。因而双重剥离破坏准则是普通单元有限元模型正确模拟IC debonding的关键问题。

如果不考虑不同位置界面粘结-滑移关系的差别，直接使用面内剪切试验得到的“粘结-滑移模型I”来建立界面模型，同时考虑双重剥离破坏准则，则计算得到的平均受弯剥离承载力要比试验结果高9.7％。然而，如果整个界面都使用“粘结-滑移模型II”，则计算得到的平均受弯剥离承载力比试验结果低3.7％。由此可见，裂缝附近的粘结-滑移关系对最终结果更敏感。

7.7 受弯剥离承载力设计方法

7.7.1 简化的界面粘结应力分布

由前述研究可知，受弯剥离破坏中，界面粘结应力主要由弯矩增量（剪力）和临界受弯裂缝张开两个因素引起的。对于一般集中加载的梁，通常最大剪力和最大弯矩出现在同一个截面（集中荷载位置），而该截面的裂缝宽度也往往最大，成为导致起始剥离的临界裂缝。从该截面开始形成剥离破坏，然后剥离逐渐延伸到剪弯段FRP的整个粘贴长度范围。

对有限元分析得到FRP应变分布进行处理可以得到受弯剥离破坏起始时的界面粘结应力分布，典型的分布如图7-41所示。将该图与组合裂缝模型得到的图7-22进行对比，可以看出二者总的分布趋势是相似地，但图7-22由于使用了分离裂缝模型，从而对裂缝附近的滑移集中现象表现得更加显著一些，而图7-41相当于图7-22进行平均化后的结果。

根据图7-41的界面粘结应力分布，本文将其简化为剪弯段由两个三角形的应力区块组成（图中分A区和B区），纯弯区的界面粘结应力看作0。其中，A区代表剪力引起的粘结应力，其长度L_d为从FRP端部到最大弯矩截面。虽然对于集中荷载作用下的梁，弯剪段的剪力为一常量，但是考虑到钢筋屈服长度的影响，本文建议的三角形粘结应力分布更接近有限元分析得到的A区界面粘结应力分布（图7-41）。B区代表裂缝张开引起的局部粘结应力，根据文献 [35] 的研究，对于受弯裂缝附近的“粘结-滑移关系II”这样的界面行为，其破坏时的局部粘结长度可以用下式给出：

(7.4)

有限元的分析结果也表明，B区长度和上式 的结果基本一致。

图7-41 界面粘结应力分布

7.7.2 计算模型

根据以上所建议的简化粘结应力分布图形，由受力平衡条件可以得到受弯剥离时FRP的最大轴向拉力：

(7.5)

式中， 为弯曲裂缝引起的最大界面粘结应力； 为剪力引起的最大粘结应力。

根据第五章的研究结果，局部最大粘结强度为，

		(7.6)
		(7.7)

式中， (MPa)是混凝土抗拉强度；b_w为宽度修正系数。

在局部剥离出现时，有，

(7.8)

引入系数 表示 在 中所占的比例，即：

		(7.9a)
		(7.9b)

则受弯剥离时的FRP有效应变为：

(7.10)

在式(7.10)中，仅有系数 未知。从上节45个梁的有限元分析可以得到的FRP剥离应变，再根据式(7.10)可以计算出相应的 ，发现 和 之间存在图7-42所示关系，经回归统计得，

(7.11)

图 7-42 和 的关系

由 的定义知， 应该在0~1之间，即： ，可得，

(7.12)

该式为本文模型的适用范围。

将式(7.4)和(7.11)代入式(7.10)，整理得，

(7.13)

由式(7.13)计算得到的剥离应变和有限元计算得到的剥离应变对比如图7-43所示，可见二者吻合较好。

图 7-43 式(7.13) FRP应变与有限元FRP应变对比

7.8与试验结果对比

7.8.1 不同计算模型和试验结果对比

按式(7.13)得到 后，即可根据平截面假定计算受弯剥离承载力。

以第六章介绍的80个IC debonding试件为基础，按式(7.13)计算得到的剥离承载力与试验结果对比见图7-44和表7-4，其中， 为试验得到的受弯剥离承载力， 为FRP拉断时的极限弯矩计算值。通过对比可以看出，本文建议的模型比上一章提到的现有模型都要好很多(见图6-6和表6-1)，受弯剥离承载力计算值与试验结果非常接近（平均误差-8.18%），略偏保守一点。这里需要补充说明的是，本文建议的设计公式得到的剥离时FRP的应变与有限元的结果非常相近（见图7-43），而预测的受弯剥离承载力则要比有限元的略小一些（有限元剥离弯矩平均误差为-1.1%），这是因为在计算受弯剥离承载力时使用了平截面假定，而IC debonding发生后，由于剥离导致FRP发生滑移，使平截面假定不再严格成立，因此采用平截面假定会低估截面的实际曲率。考虑到采用平截面假定是略偏保守的，误差不大，且计算简便。因此本文认为按此方法计算截面受弯剥离承载力是合适的。

表7-4 本文模型计算结果与试验值对比

模型名称	平均误差	平均绝对误差	均方差
式(7.13)	-8.45%	11.44%	0.109
式(7.14)	-15.93%	16.67%	0.110

图 7-44 式(7.13)计算的剥离弯矩与试验结果比较

为了进一步说明受弯剥离承载力各计算模型间的差异，本文比较了剥离应变 和延伸长度 之间的关系。根据式(7.13)，将文献 [112] 公式、文献 [133] 公式及式(7.13)等三个结果较好的模型预测的剥离应变 用 进行无量纲化。同样的，将 也除以 加以无量纲化，并与23个试验剥离应变实测结果进行对比，如图7-45所示。当然，如前所述原因，应变对比的离散度要大一些，且试验量测应变一般比实际应变要小一些。但是，通过对比仍然可以清晰地看出，本文建议模型（式7.13）的预测结果和试验结果吻合最好。文献 [133] 公式由于假设 随 线性增加，因而在 较大时预测结果明显偏大；而文献 [112] 公式认为 于 无关，因而在 较大时预测结果明显偏小。

(a) Teng et al. 公式

(b) 黄-叶公式

(c) 本文建议公式

图 7-45 不同模型剥离应变与延伸长度的关系

7.8.2 考虑保证率的设计公式

由于受弯剥离破坏具有明显的脆性，因此有必要适当提高受弯剥离承载力设计公式的保证率。通过大量试算发现，如果将式(7.6)中的最大粘结强度t_max的系数1.5降低至1.2，则由式(7.13)计算得到的剥离应变均小于有限元分析得到的剥离应变。因此基于前述公式，并经偏于安全的简化处理后，建议实用受弯剥离承载力设计公式如下：

(7.14)

另外，由式(7.12)可得，本文设计公式的适用范围为 。也就是说，如果使用一层CFRP加固，CFRP模量为235GPa，厚度为0.111mm，则从最大弯矩截面到FRP截断截面的长度L_d不应小于123mm，对于两层CFRP，则L_d不应小于173mm。对于绝大部分工程问题，上述要求都完全可以满足。

由式(7.14)计算得到的剥离弯矩和试验弯矩对比如图7-46所示，剥离时的FRP应变和试验结果对比如图7-45c所示。可见，该公式在具有较高的精度的同时，又有着较好的安全余度，且公式形式也比较简单，便于工程应用。

图7-46 式(7.14) 计算结果与试验结果对比

7.8.3 均布荷载情况

上述分析都是针对集中荷载作用下的受弯剥离问题。对于受均布荷载作用的混凝土梁，其最大弯矩位于跨中，支座附近弯矩一般较小；而其最大剪力则位于支座位置，跨中的剪力一般比较小，故此时最大弯矩截面和最大剪力截面不重合，其受弯剥离破坏机理比集中荷载情况更加复杂。由于均布荷载工况试验加载比较困难，因此目前还没有试验资料。而根据本文上述的有限元模型分析结果，由于均布荷载作用下最大弯矩和最大剪力不同时出现在一个截面上，所以其剥离弯矩要比集中荷载作用的要高一点，幅度大概在5％~10％左右。考虑到目前缺少试验资料，且根据有限元结果，本文提出的受弯剥离设计公式对于均布荷载情况是略偏于安全的，满足工程需要。因此本文不再对均布荷载下的剥离问题提出专门的设计公式。

7.9 小结

受弯剥离是FRP加固混凝土结构的一个重要破坏形式，通过本章的工作，主要得到以下研究成果：

（1）       根据精细单元模型有限元分析，揭示了受弯剥离破坏的机理，即受弯剥离破坏不但和剪力引起的界面粘结应力有关，还与裂缝张开的界面粘结应力有关，且裂缝张开导致的界面滑移集中是受弯剥离破坏的重要原因；

（2）       精细单元模型分析表明，FRP片材与混凝土之间的粘结-滑移关系和界面位置有关。在远离受弯裂缝的区域，界面粘结-滑移关系和面内剪切试验的类似；而在靠近裂缝区域则有所不同，达到粘结强度后剥离开始，粘结应力直接降低到0；

（3）       基于精细单元分析结果，提出了双重剥离破坏准则，即：对于远离受弯裂缝的界面，主要根据界面单元节点的滑移量来判断剥离是否发生；而对于受弯裂缝附近的界面，则可以通过受弯裂缝的宽度来估算裂缝附近的滑移集中，进而判断剥离是否发生；

（4）       为进一步验证基于裂缝宽度的剥离准则，提出了基于无网格法的组合裂缝模型，将弥散裂缝模型和分离裂缝模型相结合，分析了受弯剥离裂缝附近的滑移集中问题。分析结果说明，在受弯裂缝附近界面有较大的滑移集中，而利用受弯裂缝的宽度可以较好地估计该滑移集中。验证了基于裂缝宽度的剥离准则的合理性。

（5）       基于本章提出的受弯加固的界面粘结-滑移关系以及相应的双重剥离破坏准则，开发了相应的界面单元，并嵌入通用有限元程序MSC.MARC，利用普通的钢筋混凝土有限元模型，较好地对受弯剥离进行了模拟。与45个剥离破坏的试验结果对比表明，所建议有限元模型与试验结果吻合良好。

（6）       根据有限元分析得到的界面粘结应力分布，进行了简化处理，得到受弯剥离的实用设计公式，通过与80个试验结果对比，表明该公式明显优于现有的公式，且计算方便。